Задача 67304 Перейти к полярным координатам и...
Условие
Решение
[m]y= ρ sin θ [/m]
[m]x^2+y^2=( ρ cos θ)^2+ ( ρ sin θ)^2= ρ ^2 [/m]
[m]dxdy= ρ d ρ d θ [/m]
[m]xy= ρ cos θ \cdot ρ sin θ =ρ^2 sin θ \cdot cos θ [/m]
[m]\sqrt{16-x^2-y^2})=\sqrt{16-ρ^2} [/m]
D:
[m]0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ ρ ≤ 5 [/m]
[m]J= ∫ _{0}^{2π}( ∫ _{0 }^{5}(ρ^2 sin θ \cdot cos θ \cdot \sqrt{16-ρ^2} ρd ρ)d θ = ∫ _{0}^{2π}sin θ\cdot cos θ (∫ _{0 }^{5}\sqrt{16- ρ^2}\cdot ρ^3 d ρ)d θ =[/m]
Проблема в вычислении внутреннего интеграла
[m]∫ \sqrt{16- ρ^2}\cdot ρ^3 d ρ[/m]
Используется[i] метод замены переменной[/i]
[red]Тригонометрические подстановки:[/red]
[m] ρ =4sin φ [/m] ⇒ [m] \sqrt{16- ρ^2}=4\sqrt{1-sin^2 φ }=4cos φ [/m]
[m] dρ =4cos φ d φ [/m]
[m]∫ \sqrt{16- ρ^2}\cdot ρ^3 d ρ= ∫4sin φ\cdot 4cos φ\cdot (4sin φ)^3\cdot 4cos φ d φ=4^6 ∫ sin^4 φ cos^2 φ d φ =[/m]
применяем формулы понижения степени
[m]=4^6 ∫( \frac{1-cos2 φ}{2}) ^2 \cdot \frac{1+cos2 φ}{2}d φ =[/m]...