Задача 67269 дифференциальное уравнение ...
Условие
Решение
Неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой: y = u*v; y' = u'*v + u*v'
[m]u'*v + u*v' + \frac{4x}{x^2+1}u*v = \frac{1}{(x^2+1)^3}[/m]
Выносим u за скобки:
[m]u'*v + u*(v' + \frac{4x}{x^2+1}*v) = \frac{1}{(x^2+1)^3}[/m]
Скобку приравниваем к 0:
[m]v' + \frac{4x}{x^2+1}*v = 0[/m]
[m]\frac{dv}{dx} = -\frac{4x}{x^2+1}*v[/m]
[m]\frac{dv}{v} = -\frac{4x}{x^2+1} dx[/m]
Уравнение с разделёнными переменными, интегрируем:
[m]ln |v| = -2 ln |x^2 + 1| = ln (\frac{1}{(x^2+1)^2})[/m]
[m]v = \frac{1}{(x^2+1)^2}[/m]
Подставляем обратно в уравнение:
[m]u'\frac{1}{(x^2+1)^2} + u*0 = \frac{1}{(x^2+1)^3}[/m]
Умножаем на (x^2+1)^2:
[m]u' = \frac{1}{(x^2+1)}[/m]
[m]u = arctg(x) + C[/m]
[m]y = u \cdot v = (arctg(x) + C)\frac{1}{(x^2+1)^2} = \frac{arctg(x) + C}{(x^2+1)^2}[/m]