Задача 67262 Промежутки выпуклости, вогнутости,...
Условие
Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба 
Решение
Запишем функцию в более удобном виде:
[m]y = (x+2)^{2/3} - (x-2)^{2/3}[/m]
Найдём вторую производную:
[m]y' = \frac{2}{3} \cdot (x+2)^{-1/3} - \frac{2}{3} \cdot (x-2)^{-1/3}[/m]
[m]y'' = \frac{2}{3}(-\frac{1}{3}) \cdot (x+2)^{-4/3} - \frac{2}{3}(-\frac{1}{3}) \cdot (x-2)^{-4/3} [/m]
Упрощаем:
[m]y''=\frac{2}{9} \cdot (x-2)^{-4/3} - \frac{2}{9} \cdot (x+2)^{-4/3}[/m]
Точки перегиба - это точки, в которых вторая производная равна 0.
[m]\frac{2}{9} \cdot (x-2)^{-4/3} - \frac{2}{9} \cdot (x+2)^{-4/3} = 0[/m]
Сокращаем на 2/9:
[m](x-2)^{-4/3} - (x+2)^{-4/3} = 0[/m]
[m]\frac{1}{(x-2)^{4/3}} - \frac{1}{(x+2)^{4/3}} = 0[/m]
[m]\frac{(x+2)^{4/3}}{(x-2)^{4/3}(x+2)^{4/3}} - \frac{(x-2)^{4/3}}{(x+2)^{4/3}(x-2)^{4/3}} = 0[/m]
[m]\frac{(x+2)^{4/3} - (x-2)^{4/3}}{(x-2)^{4/3}(x+2)^{4/3}} = 0[/m]
Если дробь равна 0, то числитель равен 0.
Область определения: x ≠ -2; x ≠ 2
(x+2)^(4/3) - (x-2)^(4/3) = 0
Разложим как сумму квадратов:
((x+2)^(2/3) - (x-2)^(2/3))((x+2)^(2/3) + (x-2)^(2/3)) = 0
Вторая скобка есть сумма квадратов, она ≥ 0 при любом x, принадлежащем области определения.
Первая скобка - это опять разность квадратов:
((x+2)^(1/3) - (x-2)^(1/3))((x+2)^(1/3) + (x-2)^(1/3)) = 0
Если произведение = 0, то один из множителей = 0.
1 скобка.
(x+2)^(1/3) - (x-2)^(1/3) = 0
(x+2)^(1/3) = (x-2)^(1/3)
Возводим в куб обе части:
x + 2 = x - 2
Это уравнение решений не имеет.
2 скобка.
(x+2)^(1/3) + (x-2)^(1/3) = 0
(x+2)^(1/3) = -(x-2)^(1/3)
Возводим в куб обе части:
x + 2 = -(x - 2)
x + 2 = 2 - x
x = 0 - это точка перегиба.
y(0) = 2^(2/3) - (-2)^(2/3) = 4^(1/3) - 4^(1/3) = 0
Ответ: O(0; 0) - точка перегиба.
В точках x1 = -2 и x2 = 2 первая и вторая производные не существуют, хотя функция непрерывна.
При x < -2 будет y'' < 0, график выпуклый вверх.
При x ∈ (-2; 0) будет y'' < 0, график выпуклый вверх.
При x ∈ (0; 2) будет y'' > 0, график выпуклый вниз.
При x > 2 будет y'' > 0, график выпуклый вниз.