Задача 67249 найти координаты точек эллипса 16x^(2) +...

6320a99c26d9cc47f00fe39a

30.11.2022 17:25:15

найти координаты точек эллипса 16x^(2) + 25y^(2) - 400 = 0, для которых расстояние от левого фокуса в два раза больше расстояния от правого фокуса

626fab9a354ab65fb2f43abb

30.11.2022 18:10:56

★

16x^2 + 25y^2 - 400 = 0
16x^2 + 25y^2 = 400
Делим всё уравнение на 400 = 16*25:
x^2/25 + y^2/16 = 1
Это эллипс с центром O(0; 0) и полуосями a = 5; b = 4.
Выразим y^2 через x^2:
y^2 = 16 - 16x^2/25
Находим с:
c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 16 = 9
c = 3
Его фокусы: F1(-3; 0) - левый; F2 = (3; 0) - правый.
Нам надо найти точки M(x; y), у которых расстояние
MF1 = 2*MF2
MF1 = sqrt((x+3)^2 + (y-0)^2) = sqrt((x+3)^2 + y^2)
MF2 = sqrt((x-3)^2 + (y-0)^2) = sqrt((x-3)^2 + y^2)
Уравнение с учётом y^2, выраженного через x^2:
sqrt((x+3)^2 + 16 - 16x^2/25) = 2sqrt((x-3)^2 + 16 - 16x^2/25)
Возводим в квадрат обе части:
(x+3)^2 + 16 - 16x^2/25 = 4((x-3)^2 + 16 - 16x^2/25)
x^2+6x+9+16-16x^2/25 = 4x^2-24x+36+64-64x^2/25
Переносим всё направо:
0 = 3x^2 - 30x + 75 - 48x^2/25
Приводим подобные и запишем в привычном виде:
27x^2/25 - 30x + 75 = 0
Делим всё на 3 и умножаем на 25:
9x^2 - 250x + 625 = 0
D = (-250)^2 - 4*9*625 = 62500 - 22500 = 40000 = 200^2

x1 = (250 - 200)/18 = 50/18 = 25/9
[m]y1^2 = 16 - \frac{16*625}{81*25} = \frac{16*81 - 16*25}{81} = \frac{16*56}{81}[/m]
y1 = sqrt(16*56/81) = 8sqrt(14)/9
y1 = -sqrt(16*56/81) = -8sqrt(14)/9

x2 = (250 + 200)/18 = 450/18 = 25
y2^2 = 16 - 16*625/25 = 16 - 16*25 < 0 - не подходит.

Ответ: M1(25/9; 8sqrt(14)/9); M2(25/9; -8sqrt(14)/9)