Задача 67239 в заданиях вычислить интеграл точный по...

6386fd4977a55b6961d6ac33

30.11.2022 09:56:23

в заданиях вычислить интеграл точный по формуле Ньютона Лейбница и приближённо по формуле прямоугольников отрезок AB разбить на 10 частей найти абсолютную относительную погрешность вычисления промежуточные вычисления ввести с четырьмя знаками после запятой приближённое значение интеграла привести с округлением до третьего десятичного знака

626fab9a354ab65fb2f43abb

30.11.2022 10:45:25

★

Точный
[m]\int_1^2 \frac{x^4+1}{x^2}dx= \int(x^2 + \frac{1}{x^2})dx = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{x} |_1^2 = [/m]
[m]=\frac{8}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1=\frac{7}{3}+\frac{1}{2}=\frac{14}{6}+\frac{3}{6} = \frac{17}{6} ≈ 2,833[/m]

Приближенный
n = 10, a = 1; b = 2; h = (b-a)/n = (2-1)/10 = 1/10 = 0,1; h/2 = 0,05
x0=a=1; x1=a+h=1,1; ...; x9=a+9h=1,9; x10=a+10h=2=b

Суть метода: нужно вычислить значения функции в точках
x0+h/2=1,05; x1+h/2=1,15; ... x9+h/2=1,95
И найти сумму
S = f(1,05)*0,1 + f(1,15)*0,1 + ... + f(1,95)*0,1 = 0,1*Σ f(x)
Эта сумма и равна примерно интегралу.

f(1,05) = (1,05^4 + 1)/1,05^2 = 2,0095
f(1,15) = (1,15^4 + 1)/1,15^2 = 2,0786
f(1,25) = (1,25^4 + 1)/1,25^2 = 2,2025
f(1,35) = (1,35^4 + 1)/1,35^2 = 2,3712
f(1,45) = (1,45^4 + 1)/1,45^2 = 2,5781
f(1,55) = (1,55^4 + 1)/1,55^2 = 2,8187
f(1,65) = (1,65^4 + 1)/1,65^2 = 3,0898
f(1,75) = (1,75^4 + 1)/1,75^2 = 3,3890
f(1,85) = (1,85^4 + 1)/1,85^2 = 3,7147
f(1,95) = (1,95^4 + 1)/1,95^2 = 4,0655

S = 0,1*(2,0095 + 2,0786 + 2,2025 + 2,3712 + 2,5781 + 2,8187 +
+ 3,0898 + 3,3890 + 3,7147 + 4,0655) = 0,1*28,3176 = 2,83176 ≈ 2,832
Абсолютная погрешность составляет:
2,833 - 2,832 = 0,001