Задача 67234 Найти предел функции...
Условие
Решение
Неопределенность
Знаменатель раскладываем на множители:
[m]3x^2-4x+1=3(x-1)(x-\frac{1}{3})=(x-1)(3x-1)[/m]
Умножаем и числитель и знаменатель на выражение
[m]\sqrt{3+2x}+\sqrt{4+x}[/m]
Получаем:
[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{3+2x}-\sqrt{4+x})(\sqrt{3+2x}+\sqrt{4+x})}{(x-1)(3x+1)(\sqrt{3+2x}+\sqrt{4+x})}=[/m]
Применяем формулу разности квадратов a^2-b^2=(a-b)*(a+b)
[m]\lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{3+2x})^2-(\sqrt{4+x})^2}{(x-1)(3x-1)(\sqrt{3+2x}+\sqrt{4+x})}=\lim_{x \to 1}\frac {3+2x-4-x}{(x-1)(3x-1)(\sqrt{3+2x}+\sqrt{4+x})}=[/m]
[m]\lim_{x \to 1}\frac {(x-1)}{(x-1)(3x-1)(\sqrt{3+2x}+\sqrt{4+x})}=[/m]
Сокращаем на (x-1)
[m]=\lim_{x \to 1}\frac {1}{(3x-1)(\sqrt{3+2x}+\sqrt{4+x})}=\frac{1}{(3\cdot 1-1)(\sqrt{3+2\cdot 1}+\sqrt{4+1})}=\frac{1}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{20}[/m]