Задача 67201 Без правила Лопиталя ...
Условие
Решение
1) x->1. Здесь нужно сократить дробь на (x - 1).
3x^2 - 2x - 1 = (x - 1)(3x + 1)
x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
Получается:
lim_(x->1) (3x + 1)/(x - 3) = (3*1 + 1)/(1 - 3) = 4/(-2) = -2
2) x->0. Это я честно не знаю, как решать.
Неопределенность 0/0, но как ее раскрыть?
3) x->oo. Здесь нужно делить числитель и знаменатель на x в старшей степени.
3x^2 + 5x + 4 = x^3*(3/x + 5/x^2 + 4/x^3)
-x^3 + 2x^2 + 1 = x^3*(-1 + 2/x + 1/x^3)
При x->oo каждая маленькая дробь равна 0.
Получается:
(0 + 0 + 0)/(-1 + 0 + 0) = 0/(-1) = 0
4) x->oo. Здесь, как в 3), нужно делить числитель и знаменатель на x в старшей степени.
3x^2 + x - 1 = x^2*(3 + 1/x - 1/x^2)
x^2 - 2x + 6 = x^2*(1 - 2/x + 6/x^2)
Получается:
(3 + 0 - 0)/(1 - 0 + 0) = 3/1 = 3
5) [m]lim_{x-> \infty}(\frac{2x-7}{2x-3})^{4x+1}[/m]
Здесь по 2 Замечательному пределу:
[m]lim_{x-> \infty} (1 + \frac{k}{x})^{x} = e^{k}[/m]
Получается:
[m]lim_{x-> \infty}(\frac{2x-3-4}{2x-3})^{4x+1} =lim_{x-> \infty}(1 - \frac{4}{2x-3})^{4x+1}[/m]
Нужно привести показатель степени к такому же виду, как знаменатель дроби:
[m]4x+1 = \frac{(4x+1)(2x-3)}{2x-3} = (2x-3) \cdot \frac{4x+1}{2x-3} = [/m]
[m] =(2x-3) \cdot \frac{2(2x-3)+7}{2x-3} = (2x-3) \cdot (2 + \frac{7}{2x-3})[/m]
Получается:
[m]lim_{x-> \infty}(1 - \frac{4}{2x-3})^{(2x-3) \cdot (2 + \frac{7}{2x-3}} = lim_{x-> \infty}(e^{-4})^{2 + \frac{7}{2x-3}}[/m]
Заметим, что:
[m]lim_{x-> \infty} \frac{7}{2x-3} = 0[/m]
Поэтому:
[m] lim_{x-> \infty}(e^{-4})^{2 + \frac{7}{2x-3}} = (e^{-4})^{2+0} = e^{-8}[/m]
6) x->1. Здесь, как в 1), нужно сократить (x - 1)
2x^2 + x - 3 = (x - 1)(2x + 3)
x^3 - 2x + 1 = x^3 - x^2 + x^2 - 2x + 1 = (x - 1)(x^2 + x - 1)
Получается:
lim_(x->1) (2x + 3)/(x^2 + x - 1) = (2*1 + 3)/(1 + 1 - 1) = 5/1 = 5
7) [m]lim_{x->0} \frac{1-cos(6x)}{arctg^2(x)}[/m]
Здесь по 1 Замечательному пределу:
[m]lim_{x->0} \frac{sin(x)}{x} = 1[/m]
Одно из следствий из этого предела:
[m]lim_{x->0} \frac{x}{arctg(x)} = 1[/m]
По формуле косинуса двойного угла:
1 - cos(6x) = 2sin^2(3x)
Получается:
[m]lim_{x->0} \frac{2sin^2(3x)}{arctg^2(x)} = 2lim_{x->0} \frac{sin^2(3x)}{(3x)^2}\frac{x^2}{arctg^2(x)}\frac{(3x)^2}{x^2} = 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 9 = 18[/m]
8) [m]lim_{x-> \infty}(\sqrt{9x^2+4x} - 3x) = lim_{x-> \infty} \frac{(\sqrt{9x^2+4x} - 3x)(\sqrt{9x^2+4x} + 3x)}{\sqrt{9x^2+4x} + 3x} = [/m]
[m] =lim_{x-> \infty} \frac{9x^2+4x - 9x^2}{\sqrt{9x^2+4x} + 3x} = lim_{x-> \infty} \frac{4x}{\sqrt{9x^2+4x} + 3x}[/m]
Так как x->oo, имеют значение только высшие степени.
[m]lim_{x-> \infty} \frac{4x}{\sqrt{9x^2+4x} + 3x} = lim_{x-> \infty} \frac{4x}{\sqrt{9x^2} + 3x} =[/m]
[m]= lim_{x-> \infty} \frac{4x}{3x + 3x} =lim_{x-> \infty} \frac{4x}{6x} =\frac{2}{3}[/m]
9) [m]lim_{x->2} (5 - 2x)^{\frac{x}{x-2}}[/m]
Здесь по 2 Замечательному пределу:
[m]lim_{x-> \infty} (1 + \frac{k}{x})^{x} = e^{k}[/m]
И по следствию из него:
[m]lim_{x-> 0} (1 + kx)^{1/x} = e^{k}[/m]
Нужно привести основание к виду (1 + x), а показатель к 1/x.
[m]lim_{x-2->0} (1+4-2x)^{\frac{x}{x-2}} = lim_{x-2->0} (1-2(x-2))^{\frac{x-2+2}{x-2}} [/m]
[m]= lim_{x-2->0} (1-2(x-2))^{\frac{2}{x-2} + 1} =lim_{x-2->0} (e^{-2}) \cdot (1-2(x-2)) =[/m]
[m]= e^{-2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) = e^{-2}[/m]
10) [m]lim_{x-> \infty} \frac{3x^4-2}{\sqrt{x^8+3x+4}}[/m]
Так как x->oo, имеют значение только высшие степени.
[m]lim_{x-> \infty} \frac{3x^4}{\sqrt{x^8}} = lim_{x-> \infty} \frac{3x^4}{x^4} = 3[/m]