Задача 67193 На оси абсцисс найдите такую точку X,...
Условие
сумма ее расстояний до точек M и N была бы наименьшей, и
определите эту сумму расстояний.
M(1; −3), N(13; −6);
Решение
На оси абсцисс точка имеет координаты A(x; 0).
Очевидно, 1 ≤ x ≤ 13. Это видно на рисунке.
Расстояния:
AM = sqrt((x-1)^2 + (0+3)^2) = sqrt((x-1)^2 + 9)
AN = sqrt((x-13)^2 + (0+6)^2) = sqrt((x-13)^2 + 36)
Сумма этих расстояний должна быть наименьшей:
S = sqrt((x-1)^2 + 9) + sqrt((x-13)^2 + 36)
Наименьшее значение S принимает в точке, в которой производная равна 0:
[m]S' = \frac{2(x-1)}{2 \sqrt{(x-1)^2 + 9}} + \frac{2(x-13)}{2 \sqrt{(x-13)^2 + 36}} = 0[/m]
[m]\frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2 + 9}} + \frac{x-13}{\sqrt{(x-13)^2 + 36}} = 0[/m]
[m]\frac{(x-1)\sqrt{(x-13)^2 + 36}}{\sqrt{(x-1)^2 + 9}\sqrt{(x-13)^2 + 36}} + \frac{(x-13)\sqrt{(x-1)^2 + 9}}{\sqrt{(x-13)^2 + 36}\sqrt{(x-1)^2 + 9}} = 0[/m]
[m]\frac{(x-1)\sqrt{(x-13)^2 + 36} + (x-13)\sqrt{(x-1)^2 + 9}}{\sqrt{(x-1)^2 + 9}\sqrt{(x-13)^2 + 36}}= 0[/m]
Если дробь равна 0, то ее числитель равен 0:
(x - 1)sqrt((x-13)^2 + 36) + (x-13)sqrt((x-1)^2 + 9) = 0
(x - 1)sqrt((x-13)^2 + 36) = (13 - x)sqrt((x-1)^2 + 9)
Очевидно, x ≤ 13. Возводим в квадрат обе части:
(x - 1)^2((x-13)^2 + 36) = (13 - x)^2((x-1)^2 + 9)
(x^2 - 2x + 1)(x^2 - 26x + 205) =
= (x^2 - 26x + 169)(x^2 - 2x + 10)
x^4-2x^3+x^2-26x^3+52x^2-26x+205x^2-410x+205 =
= x^4-26x^3+169x^2-2x^3+52x^2-338x+10x^2-260x+1690
Сокращаем:
206x^2 - 436x + 205 = 179x^2 - 598x + 1690
Приводим подобные:
27x^2 + 162x - 1485 = 0
Сокращаем на 27:
x^2 + 6x - 55 = 0
(x + 11)(x - 5) = 0
x = -11 - Это лишний корень, он не подходит.
x = 5, A(5; 0)
S = sqrt((5-1)^2 + 9) + sqrt((5-13)^2 + 36)
S = sqrt(4^2 + 9) + sqrt((-8)^2 + 36)
S = sqrt(25) + sqrt(100) = 5 + 10 = 15
Ответ: A(5; 0); S = 15