Задача 67182 Даны уравнения прямых l1, l2 и точка...

63216eddc27a277d2dda5503

27.11.2022 10:41:30

Даны уравнения прямых l1,

l2 и точка М.

Найти:
1) угловой коэффициент прямой l1 и отрезок, отсекаемый ею на оси ординат;
2) уравнения прямых l1 и l2 в отрезках;
3) точку пересечения прямых l1 и l2;
4) уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно прямой l2;
5) уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно прямой l2;
6) расстояние от точки М до прямой l2.
Все результаты иллюстрировать графически.

l1: 2x + 5y − 14 = 0
l2: x − 3y + 4 = 0
М (−4; −4)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.11.2022 10:53:23

★

1) угловой коэффициент прямой [m]l_{1}[/m] и отрезок, отсекаемый ею на оси ординат
[m]l_{1}:2x + 5y − 14 = 0[/m]

[m]2x + 5y = 14 [/m]

Выразим y :

[m] 5y =-2x+ 14 [/m]

Делим на 5:

[m] y =-\frac{2}{5}x+ 2,8 [/m]

[i]угловой коэффициент[/i] [m]k_{1}=-\frac{2}{5}[/m]

отрезок, отсекаемый ею на оси ординат

x=0

y=2,8

(0;2.8) - точка пересечения прямой с осью Оу.

значит отрезок, отсекаемый ею на оси ординат имеет длину 2,8

см. рис. 1

2) уравнения прямых [m]l_{1}[/m] и [m]l_{2}[/m] в отрезках:
[m]l_{1}:2x + 5y − 14 = 0[/m]

[m]2x + 5y = 14 [/m]

Делим на 14

[m]\frac{2x}{14}+\frac{5}{14}=1[/m]

[m]\frac{x}{7}+\frac{y}{2,8}=1[/m] - уравнение прямой [m]l_{1}[/m] в отрезках



[m]l_{2}:x -3y +4 = 0[/m]

аналогично

[m]\frac{x}{(-4)}+\frac{y}{\frac{4}{3}}=1[/m] - уравнение прямой [m]l_{2}[/m] в отрезках

3) точку пересечения прямых [m]l_{1}[/m] и [m]l_{2}[/m];

Решаем систему уравнений

[m]\left\{\begin {matrix}2x + 5y − 14 = 0\\x -3y +4 = 0\end {matrix}\right.[/m]

способом подстановки.

Выразим х из второго уравнения и подставим в первое:

[m]\left\{\begin {matrix}2(3y - 4) + 5y − 14 = 0\\x=3y - 4 \end {matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin {matrix}6y - 8 + 5y − 14 = 0\\x=3y - 4 \end {matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin {matrix}11y − 22 = 0\\x=3y - 4 \end {matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin {matrix}y = 2\\x=3\cdot 2 - 4 \end {matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin {matrix}y = 2\\x=2\end {matrix}\right.[/m]

О т в е т. (2;2)




4) уравнение прямой, проходящей через точку М (−4; −4) параллельно прямой[m]l_{2}[/m]

[m]l_{2}:x -3y +4 = 0[/m] - общее уравнение прямой с нормальным вектором [m]\vec{n_{2}}=(1; -3)[/m]

Параллельные прямые имеют коллинеарные ( в том числе одинаковые ) нормальные векторы.

Составляем уравнение прямой, проходящей через точку с заданным нормальным вектором [m]\vec{n_{2}}=(1; -3)[/m]

( cм. скрин 1)

[m]1\cdot(x-(-4))+(-3)\cdot (y-(-4))=0[/m]

[m]x-3y-8=0[/m]

6) расстояние от точки М (−4; −4) до прямой[m]l_{2}[/m];

( см. скин 2)
[m]d=\frac{|-4-2\cdot (-4)+4|}}{\sqrt{1^2+(-3)^2}=[/m]



5) уравнение прямой, проходящей через точку М (−4; −4) перпендикулярно прямой [m]l_{2}[/m];

Нормальный вектор прямой [m]l_{2}[/m] в данном случае становится направляющим вектором прямой

(см. скрин 3)

[m]\frac{x-(-4)}{1}=\frac{y-(-4)}{-3}[/m]

[m]\frac{x+4}{1}=\frac{y+4}{-3}[/m]

Применяем основное свойство пропорции

[m]-3(x+4)=y+4[/m]

[m]3x+y+16=0[/m]