Задача 67178 [b]Прямая l является биссектрисой...

6380ae7ae568a55fae254b79

27.11.2022 02:38:30

[b]Прямая l является биссектрисой острого (в вариантах с нечетными номерами) или тупого (в вариантах с четными номерами) угла, образованного прямыми l1 и l2. Записать уравнение прямой l в общем виде. Определить расстояние от начала координат до прямой l. Вычислить угол между прямой l и каждой из прямых l1, l2

[/b]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.11.2022 08:18:08

★

В задаче даны уравнения двух прямых, записанные в различных вида.

Значит, надо хорошо разбираться в том, какие виды уравнений прямой существуют.



[m]l_{1}:\frac{x}{5}=\frac{y+9}{-12}[/m]- каноническое уравнение прямой проходящей через точку с[i] направляющим[/i] вектором

vector{q}=(5;-12)

Запишем общее уравнение прямой [m]l_{1}[/m]

Для это применяем основное свойство пропорции.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению крайних:

-12х=5*(y+9)

[b]12x+5y+45=0[/b] - общее уравнение прямой [m]l_{1}[/m]

[i]Нормальный[/i] вектор прямой vector{n_(1)}=(12;5)

Запишем уравнение этой прямой как уравнение с [i]угловым коэффициентом k[/i]

Для этого выразим y:

[b]5y=-12x-45[/b]

Делим на 5

[b]y=-2,4x-9[/b]

[i]угловой коэффициент[/i] [m]k_{1}=-2,4[/m]




[m]l_{2}:\vec{r}=[/m][m](\begin {matrix} 3\\6\end {matrix})[/m]+[m]t(\begin {matrix} 4\\3\end {matrix})[/m]-векторно-параметрическое уравнение прямой проходящей через точку (3;6)

с направляющим вектором vector{q_(2)}=(4;3)

которое можно записать так:

[m]\vec{r}=(3+4t; 6+3t)[/m]

или

[m]x=3+4t[/m]

[m]y=6+3t[/m]

⇒

[m]x-3=4t[/m] ⇒[m] t=\frac{x-3}{4}[/m]

[m]y-6=3t[/m] ⇒ [m] t=\frac{y-6}{3}[/m]

приравниваем правые части и получаем каноническое уравнение прямой:[m] \frac{x-3}{4}=\frac{y-6}{3}[/m]

⇒ [m]3(x-3)=4(y-6)[/m]

[blue][b][m]3x-4y+15=0[/m][/b][/blue] - [i]общее уравнение[/i] прямой [m]l_{2}[/m]

[i]Нормальный вектор[/i] прямой vector{n_(2)}=(3;-4)

[m]y=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}[/m]- уравнение прямой [m]l_{2}[/m] с [i]угловым коэффициентом [/i][m]k_{2}=\frac{3}{4}[/m]






Основной вопрос задачи


[b]12x+5y+45=0[/b] - общее уравнение прямой [m]l_{1}[/m]

[i]Нормальный[/i] вектор прямой vector{n_(1)}=(12;5)

[blue][b][m]3x-4y+15=0[/m][/b][/blue] - [i]общее уравнение[/i] прямой [m]l_{2}[/m]

[i]Нормальный вектор[/i] прямой vector{n_(2)}=(3;-4)

См. рис.


Пусть точка M(х;у) лежит на биссектрисе угла между прямыми.



Это значит, что расстояние [m]d_{1}[/m] этой точки до прямой [m]l_{1}[/m] равно
расстоянию [m]d_{2}[/m] этой точки до прямой [m]l_{2}[/m]

( см. формулу в приложении)

[m]d_{1}=\frac{|12x+5y+45|}{\sqrt{12^2+5^2}}[/m]

[m]d_{2}=\frac{|3x–4y+15|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}[/m]

[m]d_{1}=d_{2}[/m] ⇒

[m]\frac{|12x+5y+45|}{\sqrt{12^2+5^2}}=\frac{|3x–4y+15|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}[/m] (#)

Знак модуля раскрывается так:

[m]\frac{12x+5y+45}{\sqrt{12^2+5^2}}= ± \frac{3x–4y+15}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}[/m]

т. е получаем два уравнения:
[m]\frac{12x+5y+45}{\sqrt{12^2+5^2}}= \frac{3x–4y+15}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}[/m] и[m]\frac{12x+5y+45}{\sqrt{12^2+5^2}}= - \frac{3x–4y+15}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}[/m]

[m]\frac{12x+5y+45}{13}= \frac{3x–4y+15}{5}[/m] и[m]\frac{12x+5y+45}{13}= - \frac{3x–4y+15}{5}[/m]

[m]5\cdot (12x+5y+45)=13\cdot (3x-4y+15)[/m]и [m]5\cdot (12x+5y+45)=-13\cdot (3x-4y+15)[/m]

Упрощаем

[m]60x+25y+225=39x-52y+195[/m] и [m]60x+25y+225=-39x+52y-195[/m]

[m]60x+25y+225-39x+52y-195=0[/m] и [m]60x+25y+225+39x-52y+195=0[/m]


[m]21x+77y+30=0[/m] и [m]99x-27y+420=0[/m] получили две взаимно перпендикулярные прямые ( см. рис. 2)


[m]99x-27y+420=0[/m] - биссектриса острого угла. Общее уравнение с нормальным вектором (99;-27)

[m]21x+77y+30=0[/m] - биссектриса тупого угла.Общее уравнение с нормальным вектором (21;77)

Прямые перпендикулярны. Скалярное произведение нормальных векторов равно 0:

99*21+(-27)*77=0


Находим расстояние от начала координат


[m]d_{1}=\frac{|99\cdot 0-27\cdot 0+420|}{\sqrt{99^2+(-27)^2}}=\frac{420}{9\cdot \sqrt{11^2+3^2}}=\frac{140}{3\sqrt{130}}[/m]


[m]d_{2}=\frac{|21\cdot 0+77\cdot 0+30|}{\sqrt{21^2+77^2}}=\frac{30}{7\cdot{3^2+11^2}}=\frac{30}{7\sqrt{130}}[/m]


Углы между прямыми находим как углы между их нормальными векторами ( см формулу (2) справа на последнем скрине)


Если прямая [red][m]l[/m][/red]:[m]99x-27y+420=0[/m]

[i]Нормальный[/i] вектор прямой vector{n}=(99;-27)

[b]12x+5y+45=0[/b] - общее уравнение прямой [m]l_{1}[/m]

[i]Нормальный[/i] вектор прямой vector{n_(1)}=(12;5)

[blue][b][m]3x-4y+15=0[/m][/b][/blue] - [i]общее уравнение[/i] прямой [m]l_{2}[/m]

[i]Нормальный вектор[/i] прямой vector{n_(2)}=(3;-4)


[m]cos φ _{1}=\frac{99\cdot 12-27\cdot 5}{\sqrt{99^2+(-27)^2}\cdot \sqrt{12^2+5^2}}=\frac{1188-135}{9\sqrt{130}\cdot 13}=[/m]

[m]cos φ _{2}=\frac{99\cdot 3-27\cdot (-4)}{\sqrt{99^2+(-27)^2}\cdot \sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{297+405}{9\sqrt{130}\cdot 5}=[/m]



Если прямая [red][m]l[/m][/red]:[m]21x+77y+30=0[/m]

[i]Нормальный[/i] вектор прямой vector{n}=(21;77)

[b]12x+5y+45=0[/b] - общее уравнение прямой [m]l_{1}[/m]

[i]Нормальный[/i] вектор прямой vector{n_(1)}=(12;5)

[blue][b][m]3x-4y+15=0[/m][/b][/blue] - [i]общее уравнение[/i] прямой [m]l_{2}[/m]

[i]Нормальный вектор[/i] прямой vector{n_(2)}=(3;-4)



[m]cos φ _{1}=\frac{21\cdot 12+77\cdot 5}{\sqrt{21^2+77^2}\cdot \sqrt{12^2+5^2}}=\frac{252+385}{7\sqrt{130}\cdot 13}[/m]

[m]cos φ _{2}=\frac{21\cdot 3+77\cdot (-4)}{\sqrt{21^2+77^2}\cdot \sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{63-308}{7\sqrt{130}\cdot 5}[/m]



Можно и по формуле (1) через угловые коэффициенты находить тангенсы углов между прямыми...