Задача 67177 log^2_2(x-1)^2 - log(1/2)(x-1) > 5...
Условие
Решение
[m]log^2_{2}(x-1)^2-log_{\frac{1}{2}}(x-1)>5[/m]
ОДЗ:
x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
По свойствам логарифмов:
[m]log_{2}(x-1)^2=2log_{2}(x-1)[/m]
[m]log^2_{2}(x-1)^2=(2log_{2}(x-1))^2=4log^2_{2}(x-1)[/m]
[m]log_{\frac{1}{2}}(x-1)=log_{2^{-1}}(x-1)=-log_{2}(x-1)[/m] ⇒
Неравенство принимает вид:
[m]4log^2_{2}(x-1)+log_{2}(x-1)-5>0[/m]
[red]Замена переменной:[/red]
[m]log_{2}(x-1)=t[/m]
[m]4t^2+t-5>0[/m]
D=1-4*4*(-5)=81
t_(1)=-5/4; t_(2)=-1
[m]log_{2}(x-1)<-\frac{5}{4}[/m] или [m]log_{2}(x-1)>-1[/m]
[m]log_{2}(x-1)<-\frac{5}{4}\cdot log_{2}2[/m] или [m]log_{2}(x-1)>-1\cdot log_{2}2[/m]
[m]log_{2}(x-1)< log_{2}2^{-\frac{5}{4}}[/m] или [m]log_{2}(x-1)> log_{2}2^{-1}[/m]
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая
[m](x-1)<2^{-\frac{5}{4}}[/m] или [m](x-1)>2^{-1}[/m]
[m]x<1+2^{-\frac{5}{4}}[/m] или [m]x>1\frac{1}{2}[/m]
[m]x<1\frac{1}{\sqrt[4]{2^5}}[/m] или [m]x>1\frac{1}{2}[/m]
С учетом ОДЗ
о т в е т. [red][m](1; 1\frac{1}{\sqrt[4]{2^5}}]\cup[1\frac{1}{2};+ ∞) [/m][/red]