Задача 67172 найти общее решение диф уравнения...

6382153774d75a096f8127ec

26.11.2022 16:40:36

найти общее решение диф уравнения подробно методом лоду y''+(y/4)=(tg(x/2))/4[m]y''+\frac{y}{4}=\frac{1}{4}tg\frac{x}{2}[/m]

626fab9a354ab65fb2f43abb

26.11.2022 21:18:29

★

y'' + 1/4*y = 1/4*tg(x/2)
Линейное неоднородное уравнение 2 порядка.
Однородное уравнение:
y'' + 1/4*y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + 1/4 = 0
k1 = -1/2*i; k2 = 1/2*I

Общее решение однородного уравнения:
y(одн) = C1*cos(x/2) + C2*sin(x/2)

Частное решение неоднородного уравнения.
Правая часть нестандартная, поэтому решаем методом вариации произвольной постоянной.
y(неод) = C1(x)*cos(x/2) + C2(x)*sin(x/2)

Обозначаем y1 = cos(x/2); y2 = sin(x/2)
Тогда y1' = -1/2*sin(x/2); y2' = 1/2*cos(x/2)

Решаем систему:
{ C1'(x)*y1 + C2'(x)*y2 = 0
{ C1'(x)*y1' + C2'(x)*y2' = 1/4*tg(x/2)

Подставляем:
{ C1'(x)*cos(x/2) + C2'(x)*sin(x/2) = 0
{ -1/2*C1'(x)*sin(x/2) + 1/2*C2'(x)*cos(x/2) = 1/4*sin(x/2)/cos(x/2)

Подстановка из 1 уравнения:
{ C2'(x) = -C1'(x)*cos(x/2)/sin(x/2)
{ -1/2*C1'(x)*sin(x/2) - 1/2*C1'(x)*cos(x/2)/sin(x/2)*cos(x/2) = 1/4*sin(x/2)/cos(x/2)

Умножаем всё уравнение на -4sin(x/2)
2C1'(x)*sin^2(x/2) + 2C1'(x)*cos^2(x/2) = -sin^2(x/2)/cos(x/2)

В левой части 2C1'(x)*(sin^2(x/2) + cos^2(x/2)) = 2C1'(x)

2C1'(x) = -sin^2(x/2)/cos(x/2) = -(1-cos^2(x/2))/cos(x/2)
C1'(x) = -0,5/cos(x/2) + 0,5cos(x/2)
C1(x) находим интегрированием:
[b]C1(x) = -ln|tg(x/4+π/4)| + sin(x/2)[/b]

C2'(x) = C1'(x)*cos(x/2)/sin(x/2) = -0,5/sin(x/2) + 0,5cos^2(x/2)/sin(x/2)

C2'(x) = -0,5/sin(x/2) + 0,5(1 - sin^2(x/2))/sin(x/2) = -0,5sin(x/2)
C2(x) также находим интегрированием:
[b]C2(x) = cos(x/2)[/b]

Полное решение неоднородного уравнения:
y(x) = y(одн) + y(неод)
y(x) = C1*cos(x/2) + C2*sin(x/2) + cos(x/2)*(-ln|tg(x/4 + π/4)| + sin(x/2)) + sin(x/2)*cos(x/2)