Задача 67138 Исследовать функцию и построить ее...
Условие
Решение
(-∞;1)U(1;+∞)
2) функция не является ни чётной, ни нечётной,
так как область определения не является множеством, симметричным относительно нуля
3)
x=1 - вертикальная асимптота
так как
[m]lim_{x→1-0}\frac{e^{-x}}{1-x}=(\frac{e^{(-1-0)}}{1-(1-0)}=\frac{e^{(-1-0)}}{+0}))=+∞[/m]
[m]lim_{x→1+0}\frac{e^{-x}}{1-x}=-∞[/m]
4)
y=0 горизонтальная асимптоты
так как
[m]lim_{x→+∞}\frac{e^{-x}}{1-x}=\frac{0}{0}[/m] применяем правило Лопиталя[m]lim_{x→+∞}\frac{(e^{-x})`}{(1-x)`}=lim_{x→+∞}\frac{(e^{-x})\cdot (-1)}{(-1)}=lim_{x→+∞}e^{-x}=0[/m]
5) точки пересечения с осью Ох
[m]y=0[/m]
⇒
e^(-x)=0
Уравнение не имеет корней, так как e^(-x) > 0 при любых х
нет точек пересечения с осью Ох
точки пересечения с осью Оy
[m]x=0[/m]
⇒
y(0)=e^(0)/(1-0)
y(0)=1
(0;1)- точка пересечения с осью Оу
6)
Исследование функции с помощью производной:
y`=e^(-x)*x/(1-x)^2
( см. скрин)
y`=0
⇒
e^(-x)*x=0
х=0
e^(-x)>0
(1-x)^2>0 при всех x ≠ 1
Знак производной зависит от знака множителя х в числителе
если х <0 , то y` <0
если x >0 , то y` >0
__-___ (0) _+__ (1) ___+___
x=0 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +
y`>0 на (0;1) и на (1;+∞) ⇒ функция возрастает на (0;1) и на (1;+∞)
y`<0 на (-∞;0) ⇒ функция убывает нана (-∞;0)
7)
y``=((x*e^(-x))/(1-x)^2) `
y``=(e^(-x)*(1-2x+x^2+2x)/(1-x)^3
y``=(e^(-x)*(1+x^2)/(1-x)^3
Знак производной зависит только от знака знаменателя
y`` >0 на (-∞;1) , кривая выпукла вниз на (-∞;1)
y`` <0 на (1;+∞), кривая выпукла вверх на (1;+∞)
