Задача 67133 Изменить порядок интегрирования и...

628a022a6653d96aeebf61ed

24.11.2022 19:06:50

Изменить порядок интегрирования и вычислить

5f3ea7e3faf909182968ddd9

24.11.2022 19:41:45

★

D:
-1 ≤ x ≤ 0

строим прямые
х=-1 и х=0
это "коридор" на оси Ох ( поэтому область вертикального вида)

0 ≤ y ≤ 1-x^2

строим графики

y=0 - ( ось Ох)
y=1-x^2 - парабола

Область на рис. 1

Посмотрим на эту область как на область горизонтального вида ( см. рис. 2)

"Коридор" - прямые y=0 и y=1

0 ≤ y ≤ 1

Слева границей области служит пряма x=0

Справа - правая ветвь параболы y=1-x^2

x^2=1-y
x= ± sqrt(1-y)

0 ≤ х ≤ sqrt(1-y)

D:
0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ х ≤ sqrt(1-y)

∫ _(0)^(1)dy ∫ _(0)^(sqrt(1-y)) x^2dx=∫ _(0)^(1) (x^3/3)|_(0)^(sqrt(1-y))=∫ _(0)^(1)(1/3)(sqrt(1-y))^3=-(1/3)∫ _(0)^(1)(1-y)^(3/2)d(1-y)=

=(-1/3)*((1-y)^(5/2)/(3/2)| _(0)^(1)=-(2/9)*0+(2/9)*1^(3/2)=2/9