Задача 67132 Решите неравентсво До последнего не...
Условие
До последнего не понимаю, путаюсь, буду безумно благодарна если решите????
Решение
Во-первых, область определения.
Выражение под логарифмом должно быть строго больше 0.
Знаменатель дроби не должен равняться 0.
{ x^2 - 4 > 0
{ (x + 2)/(x - 2) > 0
{ x ≠ 2
Получаем:
x ∈ (-oo; -2) U (2; +oo)
Теперь решаем само неравенство.
Приведем все выражения к логарифмам по основанию 4:
[m]log_4 (x^2 - 4) - log_4 (\frac{x+2}{x-2})^3 > log_4 (4)[/m]
Разность логарифмов равна логарифму дроби:
[m]log_4 \frac{x^2 - 4}{((x+2)/(x-2))^3} > log_4 (4) [/m]
Теперь так. Основание 4 > 1, значит, функция y = log_4 (x) - возрастающая. Поэтому при переходе от логарифмов к выражениям под логарифмами знак неравенства сохраняется.
[m] \frac{x^2 - 4}{((x+2)/(x-2))^3} > 4[/m]
Если бы основание было от 0 до 1, например, log_(0,2), то функция была бы убывающей, и тогда знак неравенства поменялся бы на противоположный.
Но вернёмся к нашему неравенству. Преобразуем дробь:
[m] \frac{(x+2)(x-2)(x-2)^3}{(x+2)^3} > 4[/m]
Сокращаем:
[m] \frac{(x-2)^4}{(x+2)^2} > 4[/m]
Извлекаем квадратный корень, при этом помним правило:
[m]\sqrt{a^2} = |a|[/m]
Получаем:
[m] \frac{(x-2)^2}{|x+2|} > 2[/m]
[m] \frac{(x-2)^2}{|x+2|} - 2 > 0[/m]
1) При x < -2 будет |x + 2| = -x - 2
[m] \frac{(x-2)^2}{-x-2} - 2 > 0[/m]
[m] \frac{(x-2)^2 - 2(-x-2)}{-x-2} > 0[/m]
Так как знаменатель -x - 2 > 0 по условию x < -2, то числитель тоже больше 0:
(x - 2)^2 - 2(-x - 2) > 0
x^2 - 4x + 4 + 2x + 4 > 0
x^2 - 2x + 8 > 0
Левая часть больше 0 при любом х, поэтому решение совпадает
с условием: x < -2
x1 ∈ (-oo; -2)
2) При x > 2 будет |x + 2| = x + 2
[m] \frac{(x-2)^2}{x+2} - 2 > 0[/m]
[m] \frac{(x-2)^2 - 2(x+2)}{x+2} > 0[/m]
Так как знаменатель x + 2 > 0 по условию x > 2, то числитель тоже больше 0:
(x - 2)^2 - 2(x + 2) > 0
x^2 - 4x + 4 - 2x - 4 > 0
x^2 - 6x > 0
x(x - 6) > 0
x ∈ (-oo; 0) U (6; +oo)
С учётом условия x > 2 получаем:
x2 ∈ (6; +oo)
Ответ: x ∈ (-oo; -2) U (6; +oo)
Все решения
