Задача 67130 Найти экстремум...
Условие
z=x^2+y^2-2lnx-18lny
Решение
Область определения:
x > 0; y > 0
1) Необходимое условие экстремума:
Все производные 1 порядка должны быть равны 0:
dz/dx = 2x - 2/x = 0
dz/dy = 2y - 18/y = 0
Решаем:
{ 2(x^2 - 1)/x = 0
{ 2(y^2 - 9)/y = 0
Получаем с учётом области определения:
{ x = 1
{ y = 3
Критическая точка: М(1; 3)
z(1; 3) = 1^2 + 3^2 - 2ln 1 - 18ln 3 = 10 - 18ln 3
2) Достаточное условие экстремума:
Считаем производные 2 порядка.
A = d^2z/dx^2 = 2 + 2/x^2 = 2 + 2/1^2 = 2 + 2/1 = 4
B = d^2z/(dxdy) = 0
C = d^2z/dy^2 = 2 + 18/y^2 = 2 + 18/3^2 = 2 + 18/9 = 4
D = AC - B^2 = 4*4 - 0^2 = 16 > 0
Так как D > 0 и А > 0, это точка минимума.
Ответ: Точка минимума: M(1; 3; 10-18ln 3)