Задача 67127 ...

637f5fc108d2897163e63200

24.11.2022 15:42:25

Решите неравенство:

8*3^(log^2_3(x-3)) - 18 ≥ 8*9^(log^2_3(x-3)) - 22(x-3)^(log3(x-3))

5f3ea7e3faf909182968ddd9

24.11.2022 16:19:59

★

ОДЗ:
x-3>0 ⇒ x>3
x-3 ≠ 1 ⇒ x ≠ 4

Применяем свойства степени:
[r](a^(m))^(n)=a^(mn) [/r] ⇒ a^(n^2)=a^(n*n)=9a^(n))^(n)

[m]3^{log^2_{3}(x-3)}=(3^{log_{3}(x-3)})^{log_{3}(x-3)}=(x-3)^{log_{3}(x-3)}[/m]

[m]9^{log^2_{3}(x-3)}=3^{2\cdot log_{3}(x-3)\cdot log_{3}(x-3)}=(3^{log_{3}(x-3)})^{2\cdot log_{3}(x-3)}=(x-3)^{2log_{3}(x-3)}=((x-3)^{log_{3}(x-3)})^2[/m]


Замена переменной:

[m](x-3)^{log_{3}(x-3)}=t[/m]

[m]((x-3)^{log_{3}(x-3)})^2=t^2[/m]


Решаем квадратное неравенство:

[m]8t-18 ≥ 8t^2-22t [/m]

[m]8t^2-30t+18 ≤ 0[/m]

[m]4t^2-15t+9≤ 0[/m]

D=225-4*4*9=81

t_(1)=3/4; t_(2)=3

Решение неравенства:

(3/4) ≤ t ≤ 3

Обратный переход к переменной х:

[m] \frac{3}{4} ≤ (x-3)^{log_{3}(x-3)} ≤ 3[/m]


[m]\left\{\begin {matrix} (x-3)^{log_{3}(x-3)} ≤ 3\\ (x-3)^{log_{3}(x-3)} ≥ \frac{3}{4} \end {matrix}\right.[/m]


Логарифмируем по основанию 3:
[m]\left\{\begin {matrix}log_{3} (x-3)^{log_{3}(x-3)} ≤log_{3} 3\\ log_{3}(x-3)^{log_{3}(x-3)} ≥ log_{3}\frac{3}{4} \end {matrix}\right.[/m]

Применяем свойства логарифма степени

[m]\left\{\begin {matrix} log^2_{3}(x-3) ≤ 1\\ log^2_{3}(x-3) ≥ log_{3}\frac{3}{4} \end {matrix}\right.[/m]



[m]\left\{\begin {matrix} -1≤ log_{3}(x-3) ≤ 1\\ log^2_{3}(x-3) ≥ log_{3}\frac{3}{4} \end {matrix}\right.[/m]

[m]log_{3}\frac{3}{4} ≤ log_{3}1=0[/m]

второе неравенство верно при всех х из ОДЗ

[m]-1≤ log_{3}(x-3) ≤ 1[/m] ⇒ [m]log_{3}\frac{1}{3}≤ log_{3}(x-3) ≤ log_{3}3[/m] ⇒ [m]\frac{1}{3}≤ (x-3) ≤3[/m] ⇒

[m]\frac{1}{3}+3≤ x-3+3 ≤3+3[/m]

[m]3\frac{1}{3}≤ x ≤6[/m]

С учетом ОДЗ

О т в е т. [[m]3\frac{1}{3};4)\cup(4;6[/m]]