Задача 67121 ...

62121c6e93c104614c3c379a

24.11.2022 11:00:35

Здравствуйте, объясните, почему, когда мы берем какое-либо выражение с |sin x| (или с sin^(2)x), где -4 ≤ sin x ≤ 3 (одно любое неотрицательное и одно любое положительное числа), то у нас получаются такие границы: 0 ≤ |x| ≤ 3. А если мы берем -4 ≤ x ≤ -3 (два любых отрицательных числа), то границы получаются: 4 ≤ x ≤ 3. (В частности это работает с sin x: -1 ≤ sin x ≤ 1 → 0 ≤ |sin x| ≤ 1
Никак не могу понять, заранее спасибо

5f3eaa23faf909182968dde0

24.11.2022 11:31:58

★

Модуль - это [b]расстояние[/b] от начала отсчета (число 0) до любой точки из заданного промежутка. Так как расстояние не может быть отрицательным числом, то находят такой числовой промежуток на положительной полуоси.
Ваш пример –4 ≤ x ≤ 3 не очень удачный, такие не встречаются, а вот для случая –3 ≤ x ≤ 3 действительно 0 ≤| x |≤ 3, так как расстояние от 0 до числа 2 или до числа (-2) одно и то же и равно 2.
В случае второго Вашего примера –4 ≤ x ≤ -3 получаем 3 ≤| x |≤ 4, так как расстояние от 0 до числа (-3,5) равно 3,5.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

24.11.2022 13:28:57

неравенство [b] –3 ≤ x ≤ 3 [/b] равносильно неравенству [b]| x |≤ 3[/b]

(никакой 0 слева не нужен, по свойству модуля: |x| ≥0 при любом х )


неравенство [b]–4 ≤ x ≤ –3 [/b] не равносильно неравенству [b] 3 ≤| x |≤ 4[/b]

потому что

3 ≤| x |≤ 4 равносильно объединению двух неравенств : [b]–4 ≤ x ≤ –3 [/b] ; [b] 3 ≤ x≤ 4[/b]


По определению модуля
если x ≥ 0, то |x|=x
если x < 0, то |x|=-x

{x ≥ 0
{3 ≤ x ≤ 4 Решение первой системы [b]0 ≤ x ≤ 4[/b]

или

{x < 0
{3 ≤-x ≤ 4 ( умножаем на (-1) и меняем знак)


{x < 0
{-3 ≥ x ≥ -4

записываем двойное неравенство в привычном виде:

{x < 0
{-4 ≤ x ≤ -3 Решение второй системы [b]-4 ≤ x <0[/b]


Объединяем ответы и получаем 3 ≤| x |≤ 4 равносильно объединению двух неравенств : [b]–4 ≤ x ≤ –3 [/b] ; [b] 3 ≤ x≤ 4[/b]

Верно и обратное

[b]–4 ≤ x ≤ –3 [/b] ; [b] 3 ≤ x≤ 4[/b]равносильно неравенству 3 ≤| x |≤ 4



Двойное неравенство [b]–3 ≤ |x |≤ 4 [/b]

[m]\left\{\begin {matrix}|x |≤ 4\\–3 ≤ |x |\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}|x |≤ 4\\ |x | ≥-3 \end {matrix}\right.[/m]

Второе верно при всех х.

Решение системы

|x| ≤ 4

[b]–3 ≤ |x |≤ 4 [/b] ⇒ |x| ≤ 4 ⇒ -4 ≤ x ≤ 4