Задача 67110 Исследовать функцию на экстремум и точки...
Условие
Решение
Функция непрерывна, так как является многочленом
y`=(x^3-10,5x^2+30х+15)`
y`=3x^2-21x+30
y`=0
3x^2-21x+30
x^2-7x+10=0
D=(-)^2-4*10=9
x=[m]\frac{7\pm3}{2}[/m]
x_(1)=2; x_(2)=5
Расставляем знак производной ( производная y`=3x^2-21x+30 - квадратичная функция, графиком этой функции является парабола, ветви вверх, поэтому на (1;2) производная отрицательна, на двух остальных - положительна):
__+__ (2) __-___ (5) __+__
y`>0 на (- ∞ ;2) и на (5;+ ∞ ), значит функция [i] возрастает[/i] на (- ∞ ;2) и на (5;+ ∞ )
y`< 0 на (2 ;5 ), значит функция [i] убывает[/i] на (2 ;5 )
х=2 - [i]точка максимума[/i], производная меняет знак с + на -
у(2)=2^3-10,5*2^2+30*2+15=[b]41[/b]
х=5 - [i]точка минимума[/i], производная меняет знак с - на +
y(5)=5^3-10,5*5^2+30*5+15=[b]27,5[/b]
y``=(3x^2-21x+30 )`
y``=6x-21
y``=0
6x-21=0
x=3,5- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
Функция выпукла вверх на ( - ∞ ;3,5) и выпукла вниз на (3,5;+ ∞ )
См. график на рис .
