Задача 67106 Практическая работа №8. Тема:...
Условие
Тема: Вычисление вероятностей сложных событий.
Цель: научиться решать задачи на вычисление вероятностей событий с использованием формулы полной вероятности и формул Байесса,
Вариант 1
Задание 1. Имеется 10 винтовок, три из которых снабжены оптическим. прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, авна ,85; для винтовки без прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из случайно взятой винтовки.
Задание 2. Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 — во втором, остальные — в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0.95, второй цех- с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая случайным. образом деталь будет отличного качества?
Задание 3. У рыбака имеется три любимых места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает: удочку в первом месте, рыба клюет с вероятностью 0),6; во втором — 0,9: в третьем — 0.7, Рыбак, выйдя на — ловлю рыбы, закинул удочку, и рыба клюнула. Найти вероятность того, что он удил рыбу в первом месте.
Задание 4. В первом контейнере находится 25 деталей, среди которых 10 бракованных. | Во втором находится 50 деталей, из которых 30 бракованных. В третьем — 50 деталей, | из которых 40 бракованных. Из случайно выбранного контейнера извлекается одна. i деталь, которая оказалась качественной. Определить вероятность того, что деталь была: извлечена из первого контейнера.
Задание 5. К больному с приступом аппендицита приехала скорая помощь. В городе: четыре больницы (№1, №2, №3, №4). Вероятность попасть в первую больницу 3 составляет 10%, во вторую — 20%, в третью — 30%, в четвертую — 40%. В первой больнице вероятность послеоперационного осложнения — 50%, во второй — 30%, в | третьей — 20%, в четвертой — 5%. Известно, что некоторый человек был отвезен - «скорой» в некоторую клинику и прооперирован удачно. Какова вероятность того, что операция производилась в 4-й клинике?
Решение
Вероятность поразить мишень с прицелом p1 = 0,85.
Вероятность поразить мишень без прицела p2 = 0,7.
С вероятностью q1 = 0,3 он выберет винтовку с прицелом.
С вероятностью q2 = 0,7 он выберет винтовку без прицела.
Вероятность, что он поразит мишень:
P = q1*p1 + q2*p2 = 0,3*0,85 + 0,7*0,7 = 0,255 + 0,49 = 0,745
2. Из 50 деталей 18 - в 1 цехе, 20 - во 2 цехе, 12 - в 3 цехе.
Вероятность, что деталь будет отличного качества:
В 1 и 3 цехах: p1 = p3 = 0,95, во 2 цехе: p2 = 0,7.
Вероятность, что деталь будет отличного качества:
P = 18/50*p1 + 20/50*p2 + 12/50*p3 =
= 30/50*0,95 + 20/50*0,7 = 0,57 + 0,28 = 0,85
3. В 1 месте рыба клюёт с вероятностью p1 = 0,6.
Во 2 месте рыба клюёт с вероятностью p2 = 0,9.
В 3 месте рыба клюёт с вероятностью p3 = 0,7.
Вероятность, что рыбак выберет 1 место и рыба клюнет:
P(1) = 1/3*p1 = 1/3*0,6 = 6/30
Вероятность, что рыбак выберет 2 место и рыба клюнет:
P(2) = 1/3*p2 = 1/3*0,9 = 9/30
Вероятность, что рыбак выберет 3 место и рыба клюнет:
P(3) = 1/3*p3 = 1/3*0,7 = 7/30
Вероятность, что рыба клюнет:
P(k) = P(1) + P(2) + P(3) = 6/30 + 9/30 + 7/30 = 22/30
Если рыба клюнула, то вероятность, что это было 1 место:
P = P(1) / P(k) = (6/30) / (22/30) = 6/22 = 3/11
4. В 1 контейнере 25 деталей, 10 брака и 15 качественных.
p1 = 15/25 = 3/5
Во 2 контейнере 50 деталей, 30 брака и 20 качественных.
p2 = 20/50 = 2/5
В 3 контейнере 50 деталей, 40 брака и 10 качественных.
p3 = 10/50 = 1/5
Вероятность вынуть качественную деталь:
Из 1 контейнера: P(1) = 1/3*p1 = 1/3*3/5 = 3/15
Из 2 контейнера: P(2) = 1/3*p2 = 1/3*2/5 = 2/15
Из 3 контейнера: P(3) = 1/3*p3 = 1/3*1/5 = 1/15
Вероятность достать качественную деталь:
P(k) = P(1) + P(2) + P(3) = 3/15 + 2/15 + 1/15 = 6/15
Если вынули качественную деталь, то вероятность, что она была вынута из 1 контейнера:
P = P(1)/(P(k) = (3/15) / (6/15) = 3/6 = 1/2
5. Вероятности попасть в 1, 2, 3, 4 больницы:
p1 = 0,1; p2 = 0,2; p3 = 0,3; p4 = 0,4
Вероятности осложнений в больницах:
q1 = 0,5; q2 = 0,3; q3 = 0,2; q4 = 0,05
Вероятности удачной операции в больницах:
r1 = 1 - q1 = 1 - 0,5 = 0,5; r2 = 1 - q2 = 1 - 0,3 = 0,7;
r3 = 1 - q3 = 1 - 0,2 = 0,8; r4 = 1 - q4 = 1 - 0,05 = 0,95.
Вероятности, что больной попадет в больницу и будет удачно прооперирован:
P(1) = p1*r1 = 0,1*0,5 = 0,05
P(2) = p2*r2 = 0,2*0,7 = 0,14
P(3) = p3*r3 = 0,3*0,8 = 0,24
P(4) = p4*r4 = 0,4*0,95 = 0,38
Вероятность, что больной будет удачно прооперирован:
P(у) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) =
= 0,05 + 0,14 + 0,24 + 0,38 = 0,81
Если больной был удачно прооперирован, то вероятность,
что это была 4 клиника:
P = P(4) / P(у) = 0,38 / 0,81 = 38/81