Задача 67101 ...

637a21dd9a673a6d10c0b23b

23.11.2022 13:09:25

Даны точка A и плоскость π. Найти: (1) проекцию P точки A на плоскость π; (2) точку S, симметричную точке A относительно плоскости π; (3) расстояние от точки A до плоскости π.

[r][b]A (3, 5, −1), π : 12x + 6y − 8z − 13 = 0[/b][/r]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.11.2022 13:40:23

★

(1)

Проекция точки А на плоскость - это точка пересечения плоскости и

перпендикуляра, проведенного из точки М на данную плоскость.



Ax+By+Cz+D=0- общее уравнение плоскости с нормальным вектором vector{n}=(A, B,C).


Для прямой, перпендикулярной плоскости, нормальный вектор vector{n} служит направляющим вектором


Составляем уравнение прямой, с заданным направляющим вектором vector{n} и проходящим через точку А(3;5;1)

π :12x + 6y − 8z − 13 = 0 ⇒
vector{n}=(12; 6;-8).

Получаем уравнение перпендикуляра к плоскости:
[m] \frac{x-3}{12}= \frac{y-5}{6}= \frac{z-(-1)}{-8}[/m]

[m] \frac{x-3}{12}= \frac{y-5}{6}= \frac{z+1}{-8}[/m]


Находим точку пересечения плоскости и перпендикуляра.

Решаем систему уравнений

[m]\left\{\begin {matrix}12x + 6y − 8z − 13 = 0\\\frac{x-3}{12}= \frac{y-5}{6}= \frac{z-1}{-8}\end {matrix}\right.[/m]

Параметризуем уравнение прямой:

[m] \frac{x-3}{12}= \frac{y-5}{6}= \frac{z+1}{-8}=t[/m] ⇒

[m]\frac{x-3}{12}=t[/m] ⇒ [m]x=12t+3[/m]

[m]\frac{y-5}{6}=t[/m] ⇒ [m]y=6t+5[/m]

[m]\frac{z+1}{-8}=t[/m] ⇒ [m]z=-8t-1[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}12x + 6y − 8z − 13 = 0\\x=12t+3\\y=6t+5\\z=-8t+1\end {matrix}\right.[/m]

[m]12\cdot (12t+3)+6\cdot (6t+5)-8\cdot (-8t-1)-13=0[/m]

[m] 244t=59[/m]

[m]t=\frac{59}{244}[/m]

Находим координаты точки Р

[m]x=12\cdot \frac{59}{244}+3=[/m]

[m]y=6\cdot \frac{59}{244}+5=[/m]

[m]z=-8\cdot \frac{59}{244}-1=[/m]

(2) Пусть A_(1) - точка симметричная точке А

⇒
Точка P - середина AA_(1)

x_(P)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2
y_(P)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2
z_(P)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2

Подставляем координаты точек А и P и находим координаты точки A_(1)

(3)
[m]d=\frac{|12\cdot 3+6\cdot 5-8\cdot (-1)-13|}{\sqrt{12^2+6^2+(-8)^2}}=[/m]