Задача 67048 Найти интегралы. Результаты проверить...
Условие
Решение
Все решения
Замена переменной:
[m]x-\frac{1}{2}=t[/m] ⇒
[red][m]x=t+\frac{1}{2}[/m]
[/red]
[red][m]dx=dt[/m][/red]
[m] ∫ \frac{x-1}{x^2-x-1}dx= ∫ \frac{t+\frac{1}{2}-1}{t^2-\frac{5}{4}}dt= ∫ \frac{t-\frac{1}{2}}{t^2-\frac{5}{4}}dt[/m]
Интеграл от суммы ( [i]разности [/i]) равен сумме ( [i]разности)[/i] интегралов
[m]=∫ \frac{t}{t^2-\frac{5}{4}}dt-\frac{1}{2} ∫\frac{1}{t^2-\frac{5}{4}}dt [/m]
первый интеграл по формуле [m] ∫ \frac{du}{u}[/m]
[m] u=t^2-\frac{5}{4}[/m]
[m] du=2tdt[/m] ⇒ [m] tdt=(1/2) du[/m]
второй интеграл - табличный ( см. формулу) [m]a^2=\frac{5}{4}[/m]
⇒ [m]a=\frac{\sqrt{5}}{2}[/m]
[m]=\frac{1}{2}ln|t^2-\frac{5}{4}|-\frac{1}{2}\frac{1}{2\frac{\sqrt{5}}{2}}ln|\frac{t-\frac{\sqrt{5}}{2}}{t+\frac{\sqrt{5}}{2}}|+C=\frac{1}{2}ln|t^2-\frac{5}{4}|-\frac{1}{2\sqrt{5}}ln|\frac{2t-\sqrt{5}}{2t+\sqrt{5}}| [/m]
Обратный переход к переменной x:
[m]=\frac{1}{2}ln|x^2-x-1|-\frac{1}{2\sqrt{5}}ln|\frac{x-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}{x-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}|+C=
\frac{1}{2}ln|x^2-x-1|-\frac{1}{2\sqrt{5}}ln|\frac{2x-1-\sqrt{5}}{2x-1+\sqrt{5}}|+C [/m]
[b]Проверка[/b]
([m]\frac{1}{2}ln(x^2-x-1)-\frac{1}{2\sqrt{5}}ln\frac{2x-1-\sqrt{5}}{2x-1+\sqrt{5}}+C [/m])`=
Логарифм дроби заменим разностью логарифмов:
([m]\frac{1}{2}ln(x^2-x-1)-\frac{1}{2\sqrt{5}}ln(2x-1-\sqrt{5})+\frac{1}{2\sqrt{5}}ln(2x-1+\sqrt{5})+C [/m])`=
[m]=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2-x-1}\cdot (x^2-x-1)`-\frac{1}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{2x-1-\sqrt{5}}\cdot (2x-1-\sqrt{5})`+\frac{1}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{2x-1+\sqrt{5}}\cdot (2x-1+\sqrt{5})`+(C)`=[/m]
[m]=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2-x-1}\cdot (2x-1)-\frac{1}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{2x-1-\sqrt{5}}\cdot 2+\frac{1}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{2x-1+\sqrt{5}}\cdot 2+0=[/m]
[m]=\frac{x-\frac{1}{2}}{x^2-x-1}-\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{2x-1-\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{2x-1+\sqrt{5}}=[/m]
[m]=\frac{x-\frac{1}{2}}{x^2-x-1}-\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot (\frac{2x-1+\sqrt{5}-2x+1+\sqrt{5}}{(2x-1-\sqrt{5})(2x-1+\sqrt{5})}=[/m]
[m]=\frac{x-\frac{1}{2}}{x^2-x-1}-\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot (\frac{2\sqrt{5}}{(2x-1)^2-(\sqrt{5})^2}=[/m]
[m]=\frac{x-\frac{1}{2}}{x^2-x-1}-\frac{2}{4x^2-4x+1-5}=\frac{x-\frac{1}{2}}{x^2-x-1}-\frac{2}{4(x^2-x-1)}=\frac{x-\frac{1}{2}}{x^2-x-1}-\frac{\frac{1}{2}}{x^2-x-1}=\frac{x-1}{x^2-x-1}[/m]