Задача 67043 ...

637be4a3f872760d6dd08756

22.11.2022 00:07:20

Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює b і нахилене до площини основи під кутом β . Знайдіть площу поверхні

5f3ea7e3faf909182968ddd9

22.11.2022 07:50:40

★

В основании правильной четырехугольной пирамиды - квадрат АВCD.

В равнобедренном треугольнике SAC высота SO одновременно и медиана и высота

Из прямоугольного треугольника SOC:

OC=bcos β


Диагонали квадрата равны BD=AC, [i]взаимно перпендикулярны [/i]
и в точке пересечения [i]делятся пополам[/i]

OC=OB=bcos β

Из прямоугольного треугольника ВОС
ВС^2=OB^2+OC^2=(bcos β)^2 +(bcos β)^2=b^2cos^2 β +b^2cos^2 β =2b^2cos^2 β

BC=[b]bsqrt(2)cos β[/b] - сторона квадрата АВСD

Найдем апофему SP - высоту равнобедренного треугольника SPC

SP^2=SC^2-PC^2=b^2-(([b]bsqrt(2)cos β[/b] )/2)^2=b^2-(b^2cos^2 β /2)=b^2*(2-cos^2 β )/2

SP=[blue]b*sqrt((2-cos^2 β )/2)[/blue]

S_(бок)=P_(осн)*SP=4*[b]bsqrt(2)cos β[/b]*[blue]b*sqrt((2-cos^2 β )/2)[/blue]