Задача 67007 Буду благодарна,3 и 4 внизу которые...
Условие
Решение
[m]\sqrt{2}sinx=2-\sqrt{2}cosx[/m]
[m]\sqrt{2}sinx+\sqrt{2}cosx=2[/m]
Делим обе части уравнения на 2:
[m]\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx=1[/m]
Так как [m] sin\frac{π}{4}= cos\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
уравнение примет вид:
[m]cos\frac{π}{4}\cdot sinx+sin\frac{π}{4}\cdot cosx=1[/m] или
[m]sin \frac{π}{4}\cdot sinx+cos\frac{π}{4}\cdot cosx=1[/m]
Можно решать и первое, и второе.
Мне больше нравится второе ( во - первых косинус - четная функция, во вторых решение сводится к решению простейшего уравнения cosx=a)
Применяю формулу:
[r][m] cos α \cdot cos β +sin α \cdot sin β= cos( α - β )[/m][/r]
[m]cos(x- \frac{π}{4})=1[/m]
[m](x- \frac{π}{4})=2πn, n ∈ [/m][b] Z[/b] ⇒ [m]x= \frac{π}{4}+2πn, n ∈ [/m][b] Z[/b]
[red][m]x= \frac{π}{4}+2πn, n ∈ [/m][b] Z[/b] [/red] - о т в е т.
4)
[m]\sqrt{3}sin2x+cos2x=\sqrt{3}[/m]
Делим обе части уравнения на [m]\sqrt{3}[/m]:
[m]\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x=1[/m]
Так как [m] sin\frac{π}{3}= \frac{\sqrt{3}}{2}[/m] и [m] cos\frac{π}{3}= \frac{1}{2}[/m]
или
[m] cos\frac{π}{6}= \frac{\sqrt{3}}{2}[/m] и [m] sin\frac{π}{6}= \frac{1}{2}[/m]
уравнение примет вид:
[m]cos\frac{π}{6}\cdot sin2x+sin\frac{π}{6}\cdot cos2x=1[/m] или
[m]sin \frac{π}{3}\cdot sin2x+cos\frac{π}{3}\cdot cos2x=1[/m]
[m]cos(2x- \frac{π}{3})=1[/m]
[m](2x- \frac{π}{3})=2πn, n ∈ [/m][b] Z[/b] ⇒ [m]2x= \frac{π}{3}+2πn, n ∈ [/m][b] Z[/b] ⇒
Делим на 2
[red][m]x= \frac{π}{6}+πn, n ∈ [/m][b] Z[/b] [/red] - о т в е т.