Задача 66996 исследование функции и построение...
Условие
Решение
(- ∞ ;0) U (0; + ∞ )
2) Область определения симметрична относительно нуля
Находим
y(-x)=(-x)^2+(2/(-x))=x^2-(2/x)
y(-x) ≠ y(x)
y(-x) ≠ -y(x)
Функция не является ни четной , ни нечетной.
3)Область определения не является периодическим множеством, функция [i]непериодическая[/i]
4) Нули функции
y=0
x^2+(2/x)=0
(x^3+2)/x=0 ⇒ x^3+2=0 ⇒ x=-∛2
(-∛2;0) - единственный нуль функции
Отмечаем его на области определения:
_______ [-∛2] ___ (0) _______
и расставляем знаки:
___+____ [-∛2] __-__ (0) ____+___
На (- ∞ ; -∛2) функция знакоположительна
На (-∛2;0) функция знакоотрицательна
На (0;+ ∞ ) функция знакоположительна
[red]Исследование функции с помощью первой производной:
[/red]
5. Точки экстремума
[m]y`=(x^2+\frac{2}{x})`=(x^2)`+(2x^{-1})`=2x+2\cdot (-1)\cdot x^{-2}=2x-\frac{2}{x^2}[/m]
[m]y`=0[/m] ⇒ [m]2x-\frac{2}{x^2}=0[/m] ⇒ [m]\frac{2x^3-2}{x^2}[/m] ⇒ [m]2x^3-2=0[/m]
[m]2\cdot (x^3-1)=0 [/m]
[m]x=1[/m] - точка возможного экстремума
Применяем выполнение достаточного условия экстремума.
Расставляем знаки производной:
_______-__ (1) ___+___
При переходе через точку [m]x=1[/m] - производная функции меняет знак, значит в точке [m]x=1[/m] функция имеет минимум
при х=1
y(1)=1^2+(2/1)=3
(1;3) - точка минимума ( локального, так как есть значения меньше этого, но в окрестности точки 1 значение 3 самое маленькое)
6. Монотонность функции
если y`>0 , то функция возрастает
если y`<0, то функция убывает
y`>0 на (1;+ ∞ ) ⇒ функция [b]возрастает [/b] на (1;+ ∞ )
y`<0 на (- ∞;0) U (0;1) ⇒ функция[b] убывает[/b] на (- ∞;0) U (0;1)
7.
x=0 -[i] вертикальная асимптота[/i]
[m]lim_{x → -0}(x^2+\frac{2}{x})=- ∞ [/m]
[m]lim_{x → +0}(x^2+\frac{2}{x})=+ ∞ [/m]
горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как
[m]lim_{x → ∞ }(x^2+\frac{2}{x})= ∞ [/m]
6. Множество значений функции (- ∞ ; + ∞ )
