Задача 66923 [b]Даны три вектора a, b, c[/b] [r]а)...
Условие
[r]а) Вычислить смешанное произведение (a, b, c). Сделать вывод о линейной
зависимости или независимости данных векторов. Правую или левую
тройку образуют векторы a, b, c?
б) Вычислить скалярные произведения (a, c), (a, b).
в) Найти линейную комбинацию b(a, c) − c(a, b).
г) Найти векторное произведение [b, c].
д) Найти двойное векторное произведение [a, [b, c]][/r]
Решение
(a,b,c)=[m]\begin {vmatrix} -5&3&-5\\-3&4&-5\\0&2&-3\end {vmatrix}=60+0+30-0-50+27=67 ≠0 [/m] ⇒
система векторов vector{a}, vector{b}, vector{c} [i]является базисом [/i]
(a,b,c)>0, значит тройка векторов vector{a}, vector{b}, vector{c} - [i] правая [/i]
б)
(a, c)=-5*0+3*2+(-5)*(-3)=0+6-15=-9
(a, b)=(-5)*(-3)+3*4+(-5)*(-5)=15+12+25=52
в) b(a, c) − c(a, b)=(-9*(-3)-52*0; -9*4-52*2;-9*(-5)-52*(-3))=(27;-140;201)
г)
[b, c]=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-3&4&-5\\0&2&-3\end {vmatrix}=-12\vec{i}-6\vec{k}+10\vec{i}-9\vec{j}=-2\vec{i}-9\vec{j}-6\vec{k}[/m]
д)
[a,[b, c]]=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-5&3&-5\\-2&-9&-6\end {vmatrix}=-18\vec{i}+10\vec{j}+45\vec{k}+6\vec{k}-45\vec{i}-30\vec{k}=-63\vec{i}+10\vec{j}-24\vec{k}[/m]