Задача 66901 исследование функций с помощью...
Условие
хотя бы один номер
Решение
Обычный кубический многочлен
1) Область определения D(X) = R.
2) Разрывов нет, вертикальных асимптот нет.
3) Пересечение с осью Oy: y(0) = 1/3
Пересечений с осью Ox - три, это надо кубическое уравнение решать, и все три корня - иррациональные.
Я не буду этим заниматься.
4) Функция не четная и не нечетная
5) Функция не периодическая.
6) Критические точки: y' = 0
y' = x^2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x1 = -1; y(-1) = -1/3 - 1 + 3 + 1/3 = 2 - максимум
x2 = 3; y(3) = 1/3*27 - 9 - 9 + 1/3 = -8 2/3 - минимум
Интервалы монотонности:
(-oo; -1) - функция возрастает
(-1; 3) - функция убывает
(3; +oo) - функция возрастает
7) Точки перегиба: y'' = 0
y'' = 2x - 2 = 0
x = 1; y(1) = 1/3 - 1 - 3 + 1/3 = -4 + 2/3 = -3 1/3
Интервалы выпуклости и вогнутости:
(-oo; 1) - функция выпуклая вверх (выпуклая)
(1; +oo) - функция выпуклая вниз (вогнутая)
8) Наклонных асимптот нет.
lim(x->-oo) y(x) = -oo
lim(x->+oo) y(x) = +oo
Область значений E(Y) = R.
9) График на 1 рисунке.
2. [m]y = \frac{x}{x^2-1}[/m]
1) Область определения
x^2 - 1 ≠ 0
(x+1)(x-1) ≠ 0
x ≠ -1; x ≠ 1
D(X) = (-oo; -1) U (-1; 1) U (1; +oo)
2) Вертикальные асимптоты: x1 = -1; x2 = 1
Неустранимые разрывы 2 рода.
3) Пересечение с осями: y(0) = 0
4) Функция нечетная.
5) Функция не периодическая.
6) Критические точки: y' = 0
[m]y' = \frac{1(x^2-1) - x*2x}{(x^2-1)^2} = \frac{x^2-1 - 2x^2}{(x^2-1)^2} = -\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2} = 0[/m]
Это уравнение корней не имеет, левая часть отрицательна при любом x, принадлежащем D(X)
Интервалы монотонности:
(-oo; -1) U (-1; 1) U (1; +oo) - функция убывает
7) Точки перегиба: y'' = 0
[m]y''=-\frac{2x(x^2-1)^2 - (x^2+1)*2(x^2-1)*2x}{(x^2-1)^4} = -\frac{2x(x^2-1) - (x^2+1)*2*2x}{(x^2-1)^3} = 0[/m]
2x(x^2 - 1) - (x^2 + 1)*4x = 0
2x(x^2 - 1 - 2(x^2 + 1)) = 0
2x(x^2 - 1 - 2x^2 - 2) = 0
2x(-x^2 - 3) = 0
x = 0
Скобка меньше 0 при любом x, принадлежащем D(X).
Интервалы выпуклости и вогнутости:
(-oo; -1) - функция выпуклая вверх (выпуклая)
(-1; 0) - функция выпуклая вниз (вогнутая)
(0; 1) - функция выпуклая вверх (выпуклая)
(1; +oo) - функция выпуклая вниз (вогнутая)
8) Наклонные асимптоты.
f(x) = kx + b
[m]k= \lim \limits_{x \to ± \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to ± \infty} \frac{1}{x^2-1}=0[/m]
[m]b= \lim \limits_{x \to ± \infty} (y(x)-kx) = \lim \limits_{x \to ± \infty}\frac{x}{x^2-1}=0[/m]
Горизонтальная асимптота: f(x) = 0
Область значений E(Y) = R.
9) График на 2 рисунке.
