Задача 66881 x^2y'=y^2+4xy+2x^2 найти общее решение...
Условие
Решение
Делим всё на x^2:
y' = y^2/x^2 + 4y/x + 2
Это линейное однородное диф. Уравнение 1 порядка.
Замена: y/x = t; y = tx; y' = t'*x + t
t'*x + t = t^2 + 4t + 2
dt/dx*x = t^2 + 3t + 2
dt/(t^2 + 3t + 2) = dx/x
Это уравнение с разделенными переменными.
Берём интегралы от левой и от правой части.
[m] \int \frac{dt}{t^2 + 3t + 2} = \int \frac{dt}{(t+1) (t+2)} = \int (\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t+2}) dt =[/m]
[m]= ln |t+1| - ln |t+2| = ln |\frac{t+1}{t+2}| = ln |\frac{y/x+1}{y/x+2}| =ln |\frac{y+x}{y+2x}|[/m]
[m]\int dx/x = ln |x| + ln C = ln |Cx| [/m]
Подставляем:
[m] ln |\frac{y+x}{y+2x}| = ln |Cx|[/m]
[m] \frac{y+x}{y+2x} = Cx[/m]
Можно свести к виду y = f(x), получится:
[m] y= \frac{x}{1-Cx} - 2x[/m]