Задача 66832 1. Составить канонические уравнения: а)...
Условие
б) гиперболы; в) параболы (A, B — точки, лежащие на
кривой, F — фокус, а — большая (действительная) полу-
полуось, b — малая (мнимая) полуось, е — эксцентриситет,
у = ±kx — уравнения асимптот гиперболы, D — директриса кривой, 2с — фокусное расстояние).
Решение
Каноническое уравнение эллипса:
[m]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/m]
Подставляем значения x и y из точки А:
[m]\frac{(-5)^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1[/m]
[m]\frac{25}{a^2} = 1[/m]
[b]a = 5[/b]
Эксцентриситет:
[m] ε = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{21}}{5}[/m]
a^2 - b^2 = 21
b^2 = a^2 - 21 = 5^2 - 21 = 25 - 21 = 4
[b]b = 2[/b]
Каноническое уравнение эллипса:
[m]\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1[/m]
2) A(sqrt(80); 3); B(4sqrt(6); 3sqrt(2))
Каноническое уравнение гиперболы:
[m]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1[/m]
Подставляем x и y из точек А и В:
{ [m]\frac{80}{a^2} - \frac{9}{b^2} = 1[/m]
{ [m]\frac{16*6}{a^2} - \frac{9*2}{b^2} = 1[/m]
Умножаем 1 уравнение на -2:
{ [m]\frac{-160}{a^2} + \frac{18}{b^2} = -2[/m]
{ [m]\frac{96}{a^2} - \frac{18}{b^2} = 1[/m]
Складываем уравнения:
{ [m]\frac{-64}{a^2} = -1[/m]
a^2 = 64
[b]a = 8[/b]
[m]\frac{96}{64} - \frac{18}{b^2} = 1[/m]
[m]\frac{96}{64} - 1 = \frac{18}{b^2}[/m]
[m]\frac{18}{b^2} = \frac{96-64}{64} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2}[/m]
b^2 = 18*2 = 36
[b]b = 6[/b]
Каноническое уравнение гиперболы:
[m]\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1[/m]
3) D: y = 1
Каноническое уравнение параболы в этом случае:
x^2 = 2py
Уравнение директрисы параболы:
y = -p/2 = 1
p = -2
Каноническое уравнение параболы в этом случае:
x^2 = -4y