Задача 66812 Найти точку Р(x, y, z) пересечения...
Условие
Решение
[m]\frac{x-6}{3} = \frac{y-8}{3} = \frac{z+5}{-4}[/m]
И уравнение плоскости:
3x - 2y - 5z - 4 = 0
Нам нужно найти точку их пересечения.
Для этого нам нужно перевести каноническое уравнение прямой в систему из двух пересекающихся плоскостей.
[m]\frac{x-6}{3} = \frac{y-8}{3} = \frac{z+5}{-4} = t[/m]
{ x = 3t + 6
{ y = 3t + 8
{ z = -4t - 5
Одну из плоскостей можно получить так:
2x + 2y + 3z = 6t + 12 + 6t + 16 - 12t - 15 = 0t + 13
2x + 2y + 3z - 13 = 0
Вторую плоскость можно получить, например, так:
3x + y + 3z = 9t + 18 + 3t + 8 - 12t - 15 = 0t + 11
3x + y + 3z - 11 = 0
Получили три уравнения плоскостей:
{ 2x + 2y + 3z - 13 = 0
{ 3x + y + 3z - 11 = 0
{ 3x - 2y - 5z - 4 = 0
Решаем эту систему и получаем координаты точки:
{ 2x + 2y + 3z = 13
{ 3x + y + 3z = 11
{ 3x - 2y - 5z = 4
Решаем методом Гаусса. Умножаем 1 уравнение на 3,
а 2 и 3 уравнения на -2, и складываем:
{ 2x + 2y + 3z = 13
{ 0x + 4y + 3z = 17
{ 0x + 10y + 19z = 31
Умножаем 2 уравнение на 5, а 3 уравнение на -2, и складываем:
{ 2x + 2y + 3z = 13
{ 0x + 4y + 3z = 17
{ 0x + 0y - 23z = 23
z = 23/(-23) = -1
4y + 3(-1) = 17
y = (17 + 3)/4 = 20/4 = 5
2x + 2*5 + 3(-1) = 13
x = (13 + 3 - 10)/2 = 6/2 = 3
[b]Ответ: (3; 5; -1)[/b]