Задача 66809 3-5 задания...
Условие
Решение
[m]\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1+xsin(x)-cos(2x)}{sin^2(x)}= \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1+xsin(x)-1+sin^2(x)}{sin^2(x)}=[/m]
[m] = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{xsin(x)+sin^2(x)}{sin^2(x)}= \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x+sin(x)}{sin(x)} [/m]
Одно из следствий из 1 Замечательного предела:
[m]\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin(x)} = 1[/m]
Поэтому:
[m]\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x+sin(x)}{sin(x)} = \lim \limits_{x \rightarrow 0} (\frac{x}{sin(x)} + 1) = 1 + 1 = 2[/m]
4. [m]\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^2-x+1}-1}{ln(x)} = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{(\sqrt{x^2-x+1}-1)(\sqrt{x^2-x+1}+1)}{ln(x)(\sqrt{x^2-x+1}+1)} = [/m]
[m]=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-x+1-1}{ln(x)(\sqrt{x^2-x+1}+1)} = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x(x-1)}{ln(x)(\sqrt{x^2-x+1}+1)}[/m]
Одно из следствий из 2 Замечательного предела:
[m]\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{ln(x)} = 1[/m]
Поэтому:
[m]\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x(x-1)}{ln(x)(\sqrt{x^2-x+1}+1)}= \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x}{\sqrt{x^2-x+1}+1} = [/m]
[m] = \frac{1}{\sqrt{1^2-1+1}+1} = \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{2}[/m]
5. Пока не знаю, буду думать.