Задача 66751 Определить объем тетраэдра,...

6369509f4ce58c1f3e23acb6

08.11.2022 18:08:20

Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью а, проходящей через точки А (0; 4; 1), В (6; 2; 0), С (3; 0; 2). Найти угол между плоскостью а и плоскостью ХОУ.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

08.11.2022 18:23:51

★

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки А (0; 4; 1), В (6; 2; 0), С (3; 0; 2)

Общий вид уравнения:
ax+by+cz+d=0

Подставляем координаты точек
А (0; 4; 1)
a*0+b*4+c*1+d=0
В (6; 2; 0)
a*6+b*2+c*0+d=0
С (3; 0; 2)
a*3+b*0+c*2+d=0


Решаем систему уравнений:
{4b+c+d=0 ⇒ c=-4b-d
{6a+2b+d=0
{3a+2c+d=0

{ c=-4b-d
{6a+2b+d=0
{3a+2(-4b-d)+d=0

{ c=-4b-d
{6a+2b+d=0
{3a-8b-d=0

Складываем два последних

{ c=-4b-d
{6a+2b+d=0
{9a-6b=0 ⇒ 3a=2b ⇒ 6a=4b и подставляем во второе

{ c=-4b-d
{4b+2b+d=0 ⇒ b=(-1/6)d
{ 6a=4b

{ c=(-1/3)d
{4b+2b+d=0 ⇒ b=(-1/6)d
{ a=-(1/9)d


(-1/9)dx+(-1/6)dy+(-1/3)dz+d=0

Делим на D

(-1/9)x-(1/6)y-(1/3)z+1=0 ⇒ (-1/9)x-(1/6)y-(1/3)z+1=0

[b]2x+3y+6z-18=0[/b] - общее уравнение плоскости α с нормальным вектором vector{n_(1)}=(2;3;6}

(x/9)x+(y|6)+(z/3)=1 - уравнение плоскости в отрезках

Объем тетраэдра

V=(1/3)*S_( осн)*H=(1/3)*((1/2)*9*6)*3=27

S_( осн)=S_( Δ AOB)

H=OC

Уравнение плоскости ХОУ:

z=0

Нормальный вектор
vector{n_(2)}=(0;0;1}

Угол между плоскостями - угол между их нормальными векторами.

Находим угол между vector{n_(1)}=(2;3;6} и vector{n_(2)}=(0;0;1}

cos φ =vector{n_(1)}* vector{n_(1)}/(|vector{n_(1)}|* |vector{n_(1)}|)

Скалярное произведение:

vector{n_(1)}* vector{n_(1)}=2*0+3*0+6*1=6

|vector{n_(1)}|=sqrt(2^2+3^2+6^2)=7

|vector{n_(2)}|=1

cos φ =vector{n_(1)}* vector{n_(1)}/(|vector{n_(1)}|* |vector{n_(1)}|)=6/(1*7)=6/7

φ= arccos(6/7)