Задача 66727 Опишите заданную область при помощи...
Условие
математика ВУЗ
237
Решение
★
y= ρ sin φ
x^2+y^2=5x ⇒ ρ ^2=5 ρ cos φ ⇒ ρ =5* cos φ
x^2+y^2=2x ⇒ ρ ^2=2 ρ cos φ ⇒ ρ =2* cos φ
0 ≤ φ ≤ π/4
2* cos φ ≤ ρ ≤ 5* cos φ
∫ ∫_(D) y[blue]dxdy=[/blue] ∫ ∫_(D_(1)) ρ sin φ [blue]ρ d ρ d φ[/blue] = ∫ _(0)^(π/4)d φ ∫ _(2* cos φ)^(5* cos φ) ρ ^2sin φ d ρ =
=∫ _(0)^(π/4)d φ [b]([/b]sin φ ∫ _(2* cos φ)^(5* cos φ) ρ ^2d ρ[b] )[/b]=
=∫ _(0)^(π/4) [b]([/b]sin φ *( ρ ^3/3)|_(2* cos φ)^(5* cos φ)[b])[/b]d φ =
=∫ _(0)^(π/4)(125cos^3 φ -8cos^3 φ )sin φ d φ /3=
=39∫ _(0)^(π/4)cos^3 φ (-d cosφ )=-39(cos^4 φ /4)|_(0)^(π/4)=(-39/4)*((1/4)-1)=[b]117/4[/b]
