Задача 66710 Алгебра 10 класс, очень нужно ...
Условие
Решение
1) (x + 2)^2*f(x) ≥ 0
(x + 2)^2(1 - x)(x - 6) ≥ 0
Заметим, что:
(x + 2)^2 ≥ 0 при любом x. Но x = -2 - это решение.
Эту скобку можно сократить:
(1 - x)(x - 6) ≥ 0
x ∈ [1; 6]
С учетом решения x = -2 получаем:
Ответ: x ∈ {-2} U [1; 6]
2) [m]\frac{f(x)}{(x-3)^2} ≥ 0[/m]
[m]\frac{(1 - x)(x - 6)}{(x-3)^2} ≥ 0[/m]
ОДЗ: x ≠ 3.
Заметим, что (x-3)^2 ≥ 0 при любом x ≠ 3.
На (x - 3)^2 можно умножить
(1 - x)(x - 6) ≥ 0
x ∈ [1; 6]
С учетом ОДЗ получаем:
Ответ: x ∈ [1; 3) U (3; 6]
9. [m]\frac{1}{1*5} + \frac{1}{5*9} + \frac{1}{9*13} + ... + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{n}{4n+1}[/m]
Докажем это методом математической индукции.
Для n = 1: [m]\frac{1}{1*5} = \frac{1}{5} = \frac{1}{4*1+1}[/m] - верно.
Для n = 2: [m]\frac{1}{1*5} + \frac{1}{5*9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{45}= \frac{10}{45} = \frac{2}{9} = \frac{2}{4*2+1}[/m] - верно.
Пусть это равенство верно для какого-то n.
Докажем, что оно так же верно для n+1.
[m]\frac{1}{1*5} + \frac{1}{5*9} + \frac{1}{9*13} + ... + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} + \frac{1}{(4n+1)(4n+5)} = \frac{n+1}{4n+5}[/m]
[m]\frac{n}{4n+1} + \frac{1}{(4n+1)(4n+5)} = \frac{n(4n+5) + 1}{(4n+1)(4n+5)} = \frac{4n^2+5n+1}{(4n+1)(4n+5)} =[/m]
[m]= \frac{(4n+1)(n+1)}{(4n+1)(4n+5)} = \frac{n+1}{4n+5}[/m]
Утверждение доказано.