Задача 66708 ...

63384a0d0628527cdd5346bd

06.11.2022 08:33:04

В задачах №№ 11 –20 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. При исследовании функции следует найти ее интервалы возрастания и убывания и точки экстремума, интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.
20. Y=24x–6x³

5f3ea7e3faf909182968ddd9

06.11.2022 09:04:41

★

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=(24x-6x^3)`=(24x)`-(6x^3)`=24*(x)`-6*(x^3)`=24-6*3x^2=24-18x^2

y`=0

24-18x^2=0

6*(4-3x^2)=0

4-3x^2=0

x^2=4/3

x= ± 2/sqrt(3)

Расставляем знак производной

Например, так : y`(10) <0
далее чередуем справа налево:

__-__ ( -2/sqrt(3)) _+___ (2/sqrt(3)) ___-__

y`< 0 на (- ∞ ;-2/sqrt(3)) и на (2/sqrt(3);+ ∞ )
Функция убывает на на (- ∞ ;-2/sqrt(3)) и на (2/sqrt(3);+ ∞ )

y`>0 на (-2/sqrt(3);2/sqrt(3))
Функция возрастает на (-2/sqrt(3);2/sqrt(3))


х=2/sqrt(3) - точка максимума, производная меняет знак с + на -
y(2/sqrt(3))=24*(2/sqrt(3))-6*((2/sqrt(3))^3=(48/sqrt(3))-(48/(3sqrt(3)))=96/(3sqrt(3))=32sqrt(3)

(2sqrt(3)/3; 32sqrt(3))-точка максимума

х=-2/sqrt(3) - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(-2/sqrt(3))=24*(-2/sqrt(3))-6*((-2/sqrt(3))^3=-32sqrt(3)

(2sqrt(3)/3; 32sqrt(3))-точка минимума


y``=(y`)`=(24-18x^2)`=-36x

y``=0

-36x=0

x=0

y`` > 0 при х ∈ (- ∞ ;0)

функция выпукла вниз ( ∪ ) на (- ∞ ;0)

y`` < 0 при х ∈ (0; + ∞ )

функция выпукла вверх ( ∩ ) на (0; + ∞ )

х=0 - [b]точка перегиба[/b]