Задача 66693 [b]Найти рациональные корни...
Условие
Решение
f`(x)=90x^4+300x^3+393x^2-258x+72 >0 при любом х ∈ (- ∞ ; + ∞ )
Значит данная функция возрастает на (- ∞ ; + ∞ )
и имеет один корень
Находим
f(0)=-16
f(1)=18+75+131-129+72-16 >0
На концах отрезка [0;1] функция имеет корень
Делим отрезок пополам
f(1/2)=18*(1/2)^5+75*(1/2)^4+131*(1/2)^3-129*(1/2)^2+72*(1/2)-16 >0
На концах отрезка [0; 1/2] функция принимает значения разных знаков
Значит, корень многочлена на [0;1/2]
Делим его пополам
f(1/4)=18*(1/4)^5+75*(1/4)^4+131*(1/4)^3-129*(1/4)^2+72*(1/4)-16=(18/1024)+(75/256)+(131/64)-(129/16)+18-16 < 0
На концах отрезка [1/4; 1/2] функция принимает значения разных знаков
Значит, корень многочлена на [1/4;1/2]
Делим его пополам
f(3/8)=18*(1/8)^5+75*(3/8)^4+131*(3/8)^3-129*(3/8)^2+72*(3/8)-16<0
На концах отрезка [1/4; 3/8] функция принимает значения разных знаков
Значит, корень многочлена на [1/4; 3/8]
Выбираем корень среди дробей вида ± p/q ( см. скрин)
± 1; ± 2; ± 4; ± 8; ± 16;
± 1/2; ± 1/3;± 1/6; ± 1/9;± 1/18;
± 2/3;± 2/9;
± 4/3; ± 4/9;
± 8/3;± 8/9;
± 16/3;±16/9
ТАК, чтобы это корень был числом, принадлежащим отрезку [1/4; 3/8]
Исключаем все отрицательные числа, они не принадлежат даже отрезку [0:1]
Ясно, что
1; 2; 4; 8; 16; 4/3; 8/3; 16/3; 16/9
не принадлежат даже отрезку [0:1]
1/6 < 1/4
1/9 < 1/4
1/18 < 1/4
2/9 < 1/4
4/9 > 3/8
8/9 > 3/8
и потому
точно[b] не принадлежат[/b] отрезку [1/4; 3/8]
Поэтому останется проверить всего несколько вариантов
Подставляем каждое число в уравнение функции
f(1/3)=18*(1/3)^5+75*(1/3)^4+131*(1/3)^3-129*(1/3)^2+72*(1/3)-16=... если получим 0, то х=1/3 - корень
Проверяйте...
