Задача 66682 ...

63319542bf2ae1283149ebc4

04.11.2022 15:28:30

По значениям функции [m]f(x)[/m] в узловых точках [m]x= (x1, x2, x3, x4)[/m], заданных с 4-мя верными знаками, постройте полином Лагранжа, определите значение функции в точке x* и оцените погрешность результата.
[m]f(x)=(√x),x=(0,0;0,5;1,0;2,0)
x∗=1,5[/m]

626fab9a354ab65fb2f43abb

04.11.2022 16:05:04

★

Имеем: f(x) = sqrt(x)
x0 = 1,5; x1 = 0,0; x2 = 0,5; x3 = 1,0; x4 = 2,0
Строим многочлен Лагранжа.
Значения функции в точках:
f(x0) = sqrt(1,5) ≈ 1,2247; f(x1) = sqrt(0) = 0; f(x2) = sqrt(0,5) ≈ 0,7071;
f(x3) = sqrt(1) = 1; f(x4) = sqrt(2) ≈ 1,4142
Слагаемые многочлена:
[m]l_0(x)= \frac{x-x1}{x0-x1} \frac{x-x2}{x0-x2} \frac{x-x3}{x0-x3} \frac{x-x4}{x0-x4} =\frac{x}{1,5} \frac{x-0,5}{1} \frac{x-1}{0,5} \frac{x-2}{-0,5}[/m]
[m]=\frac{2x}{3} \frac{2(x-0,5)}{2} \frac{2(x-1)}{1} \frac{-2(x-2)}{1}=-\frac{4}{3}x(2x-1)(x-1)(x-2)=[/m]
[m] = -\frac{8}{6}x(2x-1)(x-1)(x-2)[/m]
[m]l_1(x)= \frac{x-x0}{x1-x0} \frac{x-x2}{x1-x2} \frac{x-x3}{x1-x3} \frac{x-x4}{x1-x4} =\frac{x-1,5}{-1,5} \frac{x-0,5}{-0,5} \frac{x-1}{-1} \frac{x-2}{-2}[/m]
[m]=\frac{-2(x-1,5)}{3} \frac{-2(x-0,5)}{1} \frac{-(x-1)}{1} \frac{-(x-2)}{2} = \frac{1}{6}(2x-3)(2x-1)(x-1)(x-2)[/m]
[m]l_2(x)= \frac{x-x0}{x2-x0} \frac{x-x1}{x2-x1} \frac{x-x3}{x2-x3} \frac{x-x4}{x2-x4} =\frac{x-1,5}{-1} \frac{x}{0,5} \frac{x-1}{-0,5} \frac{x-2}{-1,5}[/m]
[m]=\frac{-2(x-1,5)}{2} \frac{2x}{1} \frac{-2(x-1)}{1} \frac{-2(x-2)}{3}= -\frac{4}{3}(2x-3)x(x-1)(x-2)=[/m]
[m] = -\frac{8}{6}(2x-3)x(x-1)(x-2)[/m]
[m]l_3(x)= \frac{x-x0}{x3-x0} \frac{x-x1}{x3-x1} \frac{x-x2}{x3-x2} \frac{x-x4}{x3-x4} =\frac{x-1,5}{-0,5} \frac{x}{1} \frac{x-0,5}{0,5} \frac{x-2}{-1}[/m]
[m]=\frac{-2(x-1,5)}{1} \frac{x}{1} \frac{2(x-0,5)}{1} \frac{-(x-2)}{1} = (2x-3)x(2x-1)(x-2)=[/m]
[m] = \frac{6}{6}(2x-3)x(2x-1)(x-2)[/m]
[m]l_4(x)= \frac{x-x0}{x4-x0} \frac{x-x1}{x4-x1} \frac{x-x2}{x4-x2} \frac{x-x3}{x4-x3} =\frac{x-1,5}{0,5} \frac{x}{2} \frac{x-0,5}{1,5} \frac{x-1}{1}[/m]
[m]=\frac{2(x-1,5)}{1} \frac{x}{2} \frac{2(x-0,5)}{3} \frac{x-1}{1}=\frac{1}{6}(2x-3)x(2x-1)(x-1)[/m]
Строим сам многочлен:
L(x) = [m]\frac{1}{6}[/m]*(-f(x0)*8x(2x-1)(x-1)(x-2) + f(x1)*(2x-3)(2x-1)(x-1)(x-2) -
- f(x2)*8x(2x-3)(x-1)(x-2) + f(x3)*6x(2x-3)(2x-1)(x-2) +
+ f(x4)*x(2x-3)(2x-1)(x-1))
L(x) = [m]\frac{1}{6}[/m]*(-1,2247*8(2x^2-x)(x^2-3x+2) + 0(2x-3)(2x-1)(x-1)(x-2) -
- 0,7071*8(2x^2-3x)(x^2-3x+2) + 1*6(2x^2-3x)(2x^2-5x+2) +
+ 1,4142*(2x^2-3x)(2x^2-3x+1))
L(x) = [m]\frac{1}{6}[/m]*(-9,7976(2x^4-7x^3+7x^2-2x) - 5,6568(2x^4-9x^3+13x^2-6x) +
+ 6(4x^4-16x^3+19x^2-6x) + 1,4142(4x^2-12x^3+11x^2-3x))
L(x) = -1,6329(2x^4-7x^3+7x^2-2x) - 0,9428(2x^4-9x^3+13x^2-6x) +
+ (4x^4-16x^3+19x^2-6x) + 0,2357(4x^2-12x^3+11x^2-3x)
Осталось раскрыть скобки и привести подобные.