Задача 66680 ...
Условие
Решение понятно. Один из ответов автор приводит 453, но это противоречит условию, так как при делении на 6 и на 5 НЕ получаются равные ненулевые остатки.
Решение
453 = 5*90 + 3 - делится на [b]5[/b] с остатком [b]3[/b].
453 = 6*75 + 3 - делится на [b]6[/b] с остатком [b]3[/b].
Число дает одинаковые ненулевые остатки. Ответ верный.
Теперь решим задачу в общем виде.
У нас должны соблюдаться такие условия:
1) Число трехзначное больше 400: 400 < n < 1000
2) При делении на 5 и на 6 оно даёт равные остатки.
n = 5m + k = 6p + k, k ≠ 0; k ∈ {1; 2; 3; 4}
Ненулевые остатки от деления на 5 могут быть только такими.
3) Первая цифра является средним арифметическим двух других цифр.
Запишем наше число по цифрам: n = 100a + 10b + c
a = (b + c)/2
2a = b + c
Решаем эту задачу.
Во-первых, вычтем из числа остаток k и получим число, кратное одновременно и 5 и 6, то есть кратное 30:
n - k = 5m = 6p = 30q
Запишем все числа, кратные 30 и большие 400:
420, 450, 480, 510, 540, 570, 600, 630, 660, 690, 720, 750, 780, 810, 840, 870, 900, 930, 960, 990
Теперь подбираем числа под 3 условие:
1) 420 + k; 4*2 = 2 + k; k = 6
426 - не подходит, остатки от деления на 5 и 6 разные.
2) 450 + k; 4*2 = 5 + k; k = 3
453 - подходит.
3) 480 + k; 4*2 = 8 + k; k = 0 - не подходит.
4) 510 + k; 5*2 = 1 + k; k = 9
519 - не подходит, остатки от деления на 5 и 6 разные.
5) 540 + k; 5*2 = 4 + k; k = 6
546 - не подходит, остатки от деления на 5 и 6 разные.
6) 570 + k; 5*2 = 7 + k; k = 3
573 - подходит
И так далее, проверяем все числа, кратные 30.
Подходят числа: 453, 573, 693,
Все решения
при делении на 6
453:6=75 ( ост 3)
при делении на 6
453:6=90 ( ост 3)
получаем равные ненулевые остатки
Как подобрать такое число?
Трехзначное число вида abc
a ≥ 4
Число не делится нацело на 5 ⇒ с ≠ 0; с ≠ 5
с=1 или с=2 или с =3 или с=4 или с=6 или с =7 или с=8 или с=9
Если число делится нацело на 6, значит оно делится и на три и на два.
Если число не делится на 6, значит, оно не делится
либо на 3, либо на 2, либо на 6
По условию
a=(b+c)/2
2a=b+c
a ≥ 4 ⇒ 2a ≥ 8
⇒ b+c ≥ 8
Далее простой перебор
с=1 или с=2 или с =3 или с=4 или с=6 или с =7 или с=8 или с=9
b=1 или b=3 или b=5 или b=7 или b=9 ⇒
с=1
b=1
не даст a+b ≥ 8
с=1
b=3
тоже
с=1
b=5
тоже
с=1
b=7
подойдет
получим число 471
с=3
b=1
не даст a+b ≥ 8
с=3
b=3
тоже
с=3
b=5
подойдет
получим число 453
с=3
b=7
подойдет
получим число 473
И теперь проверяем остатки от деления
471:6=78( ост 3)
471:5=94 (ост.1)
Не подходит остатки разные...
473:6=78( ост 5 )
473:5=94 (ост.3)
Не подходит остатки разные...