Задача 66619 Исследовать функцию на непрерывность и...
Условие
Решение
Так как (х-1) - знаменатель дроби (1/(х-1))
В остальных точках функция непрерывна, как композиция непрерывных функция
u= (1/(х-1))
и
6^(u) - показательная функция, непрерывна при всех u
Находим односторонние пределы:
Предел слева в точке x=1
lim_(x→1 -0) f(x)=6^(lim_(x→1 -0)1/(x-1))=6^(-∞)=0
Предел
lim_(x→ 1+0) f(x)=6^(lim_(x→1 +0)1/(x-1))=6^(+∞)=+∞
Правосторонний предел равен +∞ ,
значит х=1 - точка разрыва второго рода.
2
Функция не определена в точке x=3
Так как (х-3) - знаменатель дроби (1/(х-3))
В остальных точках функция непрерывна, как композиция непрерывных функция
u= (1/(х-3))
и
y=arcctg(u) - непрерывна при всех u
Находим односторонние пределы:
Предел слева в точке x=3
lim_(x→3 -0) f(x)=lim_(x→3 -0) arc ctg (1/(x-1))=arcctg(-∞ )=π
Предел
lim_(x→ 3+0) f(x)=lim_(x→3 +0) arc ctg (1/(x-1))=arcctg (+∞ )=0
значит х=3 - точка разрыва первого рода.
y=π/2 - горизонтальная асимптота
