Задача 66615 Исследовать функцию на непрерывность и...

63613735c6b4eb043fd70bca

01.11.2022 18:12:57

Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции

5f3ea7e3faf909182968ddd9

01.11.2022 19:32:06

★

На (- ∞ ;0) функция непрерывна, так как y=2^(x) непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (0;2) функция непрерывна, так как y=x+1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (2;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=3 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )



Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках
х=0 и х=2

Исследуем точку
x=0

Находим предел слева:
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)2^(x)=2^(-0)=1

Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)(x+1)=+0+1=1

предел слева = пределу справа Это означает, что функция имеет предел в точке

Но функция не определена в точке x=0

Значит
х=0 - [i]точка устранимого разрыва [/i]



x=2

Находим предел слева:
lim_(x →2 -0)f(x)=lim_(x →2-0)(x+1)=2 -0+1=3

Находим предел справа:
lim_(x →2 +0)f(x)=lim_(x →2+0)3=3

f(2)=3


предел слева = пределу справа и равен значению функции в этой точке.

Это означает, что функция

непрерывна в точке х=2

x=2 - точка [i]непрерывности[/i]

2.

х=1 - точка разрыва второго рода, так как правосторонний предел - бесконечный

Находим предел слева:
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x →1-0)(1)=1

Находим предел справа:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x →1+0)ln(x-1)=- ∞


х=2- точка разрыва первого рода

Находим предел слева:
lim_(x →2 -0)f(x)=lim_(x →2-0)ln(x-1)=ln1=0

Находим предел справа:
lim_(x →2 +0)f(x)=lim_(x →2+0)(2x-2)=2*2-2=2

f(2)=0
предел слева ≠ пределу справа Это означает, что функция не имеет предела в точке

63614aa2c6b4eb043fd70e1f

01.11.2022 19:41:26

На (– ∞ ;0) функция непрерывна, так как y=2x непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ ) На (0;2) функция непрерывна, так как y=x+1 непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ ) На (2;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=3 непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ ) Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках х=0 и х=2 Исследуем точку x=0 Находим предел слева: limx → –0f(x)=limx → –02x=2–0=1 Находим предел справа: limx → +0f(x)=limx → +0(x+1)=+0+1=1 предел слева = пределу справа Это означает, что функция имеет предел в точке Но функция не определена в точке x=0 Значит х=0 – точка устранимого разрыва x=2 Находим предел слева: limx →2 –0f(x)=limx →2–0(x+1)=2 –0+1=3 Находим предел справа: limx →2 +0f(x)=limx →2+03=3 f(2)=3 предел слева = пределу справа и равен значению функции в этой точке. Это означает, что функция непрерывна в точке х=2 x=2 – точка непрерывности