Задача 66577 Приведите уравнение кривой второго...

63585110e8ae5324ee23fe92

30.10.2022 14:11:14

Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
постройте ее. Укажите координаты вершин, фокусов. Напишите уравнение.
директрисы и асимптот, если они есть. Вычислите эксцентриситет кривой.
4x^(2)-9y^(2) +16x +54y - 101=0 с рисунком

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30.10.2022 20:14:02

★

Группируем:

(4x^2+16x) –(9y^2 -54y) – 101=0
Выделяем полные квадраты:

4(x^2+4x+4-4) –9(y^2 -6y+9-9) – 101=0

4*(х+2)^2-16-9(y-3)^2+81-101=0

4(x+2)^2-9(y-3)^2=36

(x+2)^2/9-(y-3)^2/4=1 - гиперболический цилиндр.

На плоскости хОу

гипербола

(x+2)^2/9-(y-3)^2/4=1

со смещенным центром (-2;3)

с действительной осью, параллельной оси Ох

мнимой осью, параллельной оси Оу

Координаты вершин

(-5;3) и (1; 3

a=3; b=2

b^2=c^2-a^2

c^2=a^2+b^2


c^2=3^2+2^2

c=sqrt(13)

Координаты фокусов

F_(1)(-2-sqrt(13);3); F_(2)=(-2+sqrt(13);3);


Уравнение директрис


Уравнение асимптот гиперболы с центром в начале координат
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
имеют вид:

y= ± (b/a)x;

a=3; b=2

y= ± (2/3)x



Асимптоты гиперболы (x+2)^2/9-(y-3)^2/4=1

y=(2/3)x+b_(1)

y=-(2/3)x +b_(2)

Подставляем координаты точки(-2;3)

3=(2/3)*(-2)+b_(1) ⇒ b_(1)=13/3

3=-(2/3)*(-2)+b_(2) ⇒ b_(2)=5/3

y=(2/3)x+(13/3) и y=-(2/3)x +(5/3)

Эксцентриситет кривой:

ε =с/а=sqrt(13)/3