Задача 66566 провести исследования функции и...
Условие
Решение
Вертикальных асимптот нет
Горизонтальная асимптота [m]y=0[/m]
[m]lim_{x →∞ } 2x*e^{-x^2/2}= lim_{x →∞ } \frac{2x}{e^{x^2/2}}= lim_{x →∞ } \frac{(2x)`}{(e^{x^2/2})}=lim_{x →∞ } \frac{2}{x\cdot e^{x^2/2}}=0[/m]
Функция нечетна, так как y(-x)=2*(-x)*e^(-(-x)^2/2)=-2xe^(-x^2/2)=y(x)
Исследование с помощью первой производной:
y`=(2x)`*e^(-x^2/2)+(2x)*(e^(-x^2/2))`
y`=2*e^(-x^2/2)+(2x)*e^(-x^2/2)(-x^2/2)`
y`=2*e^(-x^2/2)+(2x)*e^(-x^2/2)(-x)
[green]y`=e^(-x^2/2)*(2-2x^2)[/green]
так как e^(-x^2/2) > 0 при любом х,
то y`=0 при х= ± 1
Знак производной:
__-____ (-1) ___+____ (1) ___-___
х=1 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
y(1)=2*e^(-1/2)
х=-1 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +
y(-1)=-2e^(-1/2)
Исследование с помощью второй производной:
y``=(y`)`=(e^(-x^2/2)*(2-2x^2))`
y``=(e^(-x^2/2))`*(2-2x^2)+e^(-x^2/2)*(2-2x^2)`
y``=(e^(-x^2/2))*(-x^2/2)`*(2-2x^2)+e^(-x^2/2)*(2-2x^2)`
y``=e^(-x^2/2)(-2x+2x^3-4x)
[red]y``=y``=e^(-x^2/2)(2x^3-6x))[/red]
y``=0
x=0; x= ± sqrt(3)
Знак второй производной
___-___ (-sqrt(3)) __+___ (0) ___-___ (sqrt(3)) ___+__
на (- ∞ ;-sqrt(3)) и на (0; sqrt(3)) кривая выпукла вверх,
на (-sqrt(3);+0 ) и на (sqrt(3);+ ∞ )кривая выпукла вниз
x=0; x= ± sqrt(3)- точки перегиба, вторая производная меняет знаки
