Задача 66519 ...

6305ddd6f95bb26127f30eef

27.10.2022 09:31:57

Четырехугольник ABCD вписан в окружеость с центрос О. АC⊥ BD. Докажите, что площади треугольников AOB и СОD равны.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.10.2022 10:41:24

★

AO=ВО=CO=DО=R

Значит применим формулу S_( Δ)= (1/2)a*b*sin ∠ C


S_( Δ АОВ)= (1/2)*АО*ВО*sin ∠ АОВ= (1/2)*R*R*sin ∠ АОВ

S_( Δ СОD)= (1/2)*CО*CО*sin ∠ CОD= (1/2)*R*R*sin ∠ СОD



Чтобы доказать, что S_( Δ АОВ)=S_( Δ СОD)

надо доказать, что sin ∠ АОВ=sin ∠СОD


Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники
Δ АВМ и Δ СDМ

По свойству пересекающихся хорд

[b]AM*MC=BM*MD[/b] ⇒

АМ: BM=MD: MC



Δ АВМ ∼ Δ СDМ так как углы равны

∠ АМВ= ∠ СМD

а стороны, образующие эти углы, пропорциональны

АМ: BM=MD: MC ⇒

∠ ВAМ= ∠ MCD

∠ АВМ= ∠ СDM

а эти углы вписанные, они измеряются половиной дуги на которую опираются и потому

∠ АВМ=∠ MCD
∠ ВAМ= ∠ СDM

⇒
∠ АВМ=∠ MCD = ∠ ВAМ= ∠ СDM ⇒

Δ АВМ и Δ СDМ - прямоугольные равнобедренные треугольники



[blue] ∪ AD=∪ BC=90 ° [/b]

⇒

∪ AB+ ∪ BC+ ∪ CD+ ∪ AD=360 ° ⇒

∪ AB+ ∪ CD=360 °- 90 ° -90 °

∪ AB+ ∪ CD=180 °
∠ AOB и ∠ СOD - центральные

измеряются дугой, на которую опираются


∠ AOB=∪ AB
∠ СOD= ∪ CD
sin ∠ AOB=sin (180 ° - ∠ AOB)=sin ∠ COD

что и требовалось доказать