Задача 66513 Вычислить пределы не используя правило...

6355a2d83db1a168cec87f02

27.10.2022 01:50:25

Вычислить пределы не используя правило Лопиталя

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.10.2022 12:02:18

★

Замена переменной

[m]x-\frac{π}{2}=t[/m] ⇒ [m]x=t+\frac{π}{2}[/m]


[m]x → \frac{π}{2}-0[/m] ⇒ [m]t → -0[/m]

[m]ctgx=ctg(t+\frac{π}{2})=-tgt[/m]

[m]tgx=tg(t+\frac{π}{2})=-ctgt[/m]


[m] lim_{x → \frac{π}{2}-0} (1+ctgx)^{tgx}= lim_{t →-0} (1-tgt)^{-ctgt}[/m]=1^( ∞ )

Неопределенность

Устраняем

[m]y= (1-tgt)^{-ctgt}[/m]

Логарифмируем

[m]lny= ln(1-tgt)^{-ctgt}[/m]

Применяем свойства логарифма:

[m]lny=(-ctg t) ln(1-tgt)[/m]


Находим

[m]lim_{t →-0} lny[/m]


[m]lim_{t →-0}(-ctg t) ln(1-tgt)=lim_{t →-0}\frac{ln(1-tgt)}{(-tgt)}=1[/m]

Применяем следствия второго замечательного предела