Задача 66512 Вычислить пределы не используя правило...
Условие
Решение
[m] lim_{x → \frac{π}{6}} \frac{sin(x-\frac{π}{6})}{\frac{\sqrt{3}}{2}-cosx}=\frac{sin0}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{0}{0}[/m]
Неопределенность
Устраняем
Замена переменной
[m]x-\frac{π}{6}=t[/m] ⇒ [m]x=t+\frac{π}{6}[/m]
[m]x → \frac{π}{6}[/m] ⇒ [m]t → 0[/m]
[m]sin(x-\frac{π}{6})=sint[/m]
[m]cosx=cos(t+\frac{π}{6})[/m]
[m] lim_{x → \frac{π}{6}} \frac{sin(x-\frac{π}{6})}{\frac{\sqrt{3}}{2}-cosx}=lim_{t →0}\frac{sint}{\frac{\sqrt{3}}{2}-cos(t+\frac{π}{6})}=lim_{t →0}\frac{sint}{\frac{\sqrt{3}}{2}-cost\cdot cos\frac{π}{6}+sint\cdot sin\frac{π}{6}}=[/m]
[m]=lim_{t →0}\frac{sint}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot cost+\frac{1}{2}sint}=lim_{t →0}\frac{sint}{\frac{\sqrt{3}}{2}(1-cost)+\frac{1}{2}sint}=lim_{t →0}\frac{sint}{\sqrt{3}sin^2t+\frac{1}{2}sint}=lim_{t →0}\frac{1}{\sqrt{3}sint+\frac{1}{2}}=2[/m]