Задача 66489 [b]Найти все значения корня из...
Условие
[/b]
Решение
( cм. приложение)
Представляем число [m]8i[/m] в тригонометрической форме:
|8i|=8
[m]8i=8*(cos\frac{π}{2}+i* sin\frac{π}{2})[/m]
Применяем формулу Муавра.
∛(8i)=∛8*[m](cos\frac{\frac{π}{2}+2π k}{3}+i\cdot sin\frac{\frac{π}{2}+2π k}{3})[/m], k ∈ Z
при k=0
первый корень
z_(o)=2*[m](cos\frac{\frac{π}{2}}{3}+isin\frac{\frac{π}{2}}{3})=2\cdot (cos\frac{π}{6}+i\cdot sin\frac{π}{6})=\sqrt{3}+i[/m]
при k=1
второй корень
z_(1)=2*[m](cos\frac{\frac{π}{2}+2π}{3}+isin\frac{\frac{π}{2}+2πi}{3})=2*(cos\frac{5π}{6}+isin\frac{5π}{6}=-\sqrt{3}+i[/m]
при k=2
третий корень
z_(2)=2*[m](cos\frac{\frac{π}{2}+4π}{3}+isin\frac{\frac{π}{2}+4π}{3})=2*(cos\frac{9\pi}{6}+isin\frac{9\pi}{6})=-2i[/m]
Корни расположены на окружности радиуса 2
Точки z_(o);z_(1);z_(2) делят окружность на три ( потому что корень третьей степени) равные части, каждая по 120 градусов
