Задача 66459 Задание к разделу 1, п. 1.3 - 1.4 (см....

6357903c2b3df42ec7498d0e

25.10.2022 10:30:05

Задание к разделу 1, п. 1.3 - 1.4 (см. Конспект лекций)
По заданным точкам A, B, C и D cоставить уравнение прямой
AB и плоскости BCD, вычислить угол между ними и найти расстояние от точки A до плоскости BCD.
A (0, 0, 0), B (−2, 0, 0), C (0, 2, 0), D (1, 2, 1

5f3ea7e3faf909182968ddd9

25.10.2022 13:37:14

★

уравнение прямой AB

vector{AB}=(-2-0:0-0;0-0)=(-2;0;0)- направляющий вектор прямой АВ

Каноническое уравнение прямой АВ:

[m]\frac{x-0}{-2}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-0}{0}[/m]

[m]\frac{x}{-2}=\frac{y}{0}=\frac{z}{0}[/m]



уравнение плоскости BCD

Пусть M (x;y;z) - произвольная точка плоскости

Тогда векторы:

vector{BM}=(x-(-2);y- 0; z-0)=(x+2;y;z)
vector{BC}=(0-(2);2- 0; 0-0)=(2;2;0)
vector{BD}=(1-(-2);2- 0; 1-0)=(3;2;1)

лежат в одной плоскости

Определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0


Угол между прямой AB и плоскостью BCD

vector{AB}=(-2;0;0)- направляющий вектор прямой АВ

vector{q}=(-2;0;0)

m=-2
n=0
p=0

Уравнение плоскости BCD: x - y - z +2 =0 ⇒ vector{[b]N[/b]}=(1;-1;-1) - нормальный вектор плоскости

A=1

B=-1

C=-1

Далее по формуле см. скрин

sin φ =|-2*1+0*(-1)+0*(-1)|/(sqrt((-2)^2+0^2+0^2)*sqrt(1^2+(-1)^2+(-1)^2))=2/(2sqrt(3))=1/sqrt(3)

[b]φ =arcsin(1/sqrt(3))[/b]


[b]Расстояние[/b] от точки от точки A (0, 0, 0), до плоскости BCD: x - y - z +2 =0

[b]d=[/b](|0-0-0+2|)/sqrt(1^2+(-1)^2+(-1)^2)=2/sqrt(3)[b]=(2sqrt(3))/3[/b]