Задача 66394 Здравствуйте, решите предел!...
Условие
Решение
неопределенности 1^{ ∞ }
Обозначим
[m]y=(\frac{1+tg\frac{x}{2}\cdot 9^{2x}}{1+tg\frac{x}{2}\cdot 7^{3x}})^{\frac{1}{x^2}}[/m]
Логарифмируем:
[m]lny=ln(\frac{1+tg\frac{x}{2}\cdot 9^{2x}}{1+tg\frac{x}{2}\cdot 7^{3x}})^{\frac{1}{x^2}}[/m]
По свойству логарифмов:
[m]lny=\frac{1}{x^2}ln(\frac{1+tg\frac{x}{2}\cdot 9^{2x}}{1+tg\frac{x}{2}\cdot 7^{3x}})[/m]
[m]lny=\frac{ln\frac{1+tg\frac{x}{2}\cdot 9^{2x}}{1+tg\frac{x}{2}\cdot 7^{3x}} }{x^2}[/m]
Находим
[m]lim_{x → 0} lny =lim_{x → 0}\frac{ln\frac{1+tg\frac{x}{2}\cdot 9^{2x}}{1+tg\frac{x}{2}\cdot 7^{3x}} }{x^2}[/m]
Получили неопределенность (0/0)
Применяем эквивалентность бесконечно малых
правило Лопиталя и т.д
После нахождения
[m]lim_{x → 0} lny =k[/m]
легко вычислить требуемый предел
[m]lim_{x → 0} y =e^{k}[/m]