Задача 66390 привести формулу Ф равносильными...

628cad6a994c9f478758bb7e

21.10.2022 20:13:32

привести формулу Ф равносильными преобразованиями к
дизъюнктивной нормальной форме

626fab9a354ab65fb2f43abb

22.10.2022 09:54:42

★

Я не могу поставить черту над буквой, поэтому буду писать ~A.
Φ = (~A ⇒ B) /\ C ⇔ (A ⇔ B)
Сначала раскрываем стрелки:
1) Импликация: X ⇒ Y = ~X \/ Y, поэтому:
~A ⇒ B = A \/ B
2) Эквивалентность: X ⇔ Y = (X /\ Y) \/ (~X /\ ~Y), поэтому:
A ⇔ B = (A /\ B) \/ (~A /\ ~B)
Подставляем:
Φ = (A \/ B) /\ C ⇔ ((A /\ B) \/ (~A /\ ~B)) = (A /\ С) \/ (B /\ C) ⇔ ((A /\ B) \/ (~A /\ ~B)) =
= [((A /\ С) \/ (B /\ C)) /\ ((A /\ B) \/ (~A /\ ~B))] \/ [~((A /\ С) \/ (B /\ C)) /\ ~((A /\ B) \/ (~A /\ ~B))] =
= [(A /\ С /\ A /\ B) \/ (B /\ C /\ A /\ B) \/ (A /\ С /\ ~A /\ ~B) \/ (B /\ C /\ ~A /\ ~B)] \/
\/ [~(A /\ С) /\ ~(B /\ C) /\ ~(A /\ B) /\ ~(~A /\ ~B)] =
= (A /\ B /\ C) \/ (A /\ B /\ C) \/ 0 \/ 0 \/ [(~A \/ ~C) /\ (~B \/ ~C) /\ (~A \/ ~B) /\ (A \/ B)] =
= (A/\B/\C) \/ [((~A/\~B) \/ (~C/\~B) \/ (~A/\~C) \/ (~C/\~C)) /\ ((~A/\A) \/ (A/\~B) \/ (~A/\B) \/ (B/\~B))] =
= (A /\ B /\ C) \/ [(~A /\ ~B) \/ (~C /\ ~B) \/ (~A /\ ~C) \/ ~C) /\ (0 \/ (A /\ ~B) \/ (~A /\ B) \/ 0)] =
= (A /\ B /\ C) \/ [(~A /\ ~B) \/ ~C) /\ ((A /\ ~B) \/ (~A /\ B))] =
= (A /\ B /\ C) \/ [(~A /\ ~B /\ A /\ ~B) \/ (~C /\ A /\ ~B) \/ (~A /\ ~B /\ ~A /\ B) \/ (~C /\ ~A /\ B)] =
= (A /\ B /\ C) \/ [0 \/ (A /\ ~B /\ ~C) \/ 0 \/ (~A /\ B /\ ~C)] = (A /\ B /\ C) \/ (A /\ ~B /\ ~C) \/ (~A /\ B /\ ~C)
Ответ: Φ = (A /\ B /\ C) \/ (A /\ ~B /\ ~C) \/ (~A /\ B /\ ~C)