Задача 66372 Используя метод последовательного...

63527361c6443616781ff9e4

21.10.2022 13:46:54

Используя метод последовательного дифференцирования найти первые ???? членов разложения в степенной ряд для решения дифференциального уравнения при данных начальных условиях. Пожалуйста подробно

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.10.2022 13:59:55

★

y(1)=0

y`=xy+ln(y+x)

y`=(xy+ln(y+x))` ⇒ y`=(xy)`+(ln(y+x))` ⇒ x - независимая переменная, у - функция,зависящая от х,

поэтому x`=1

y`=(x)`*y+x*y`+[m]\frac{1}{y+x}\cdot (y+x)`[/m] ⇒ y`=y+x*y`+[m]\frac{1}{y+x}\cdot (y`+x`)[/m] ⇒

[m] y`=y+x\cdot y`+\frac{1}{y+x}\cdot (y`+1)[/m]


Находим y`

[m]y`-xy`-\frac{y`}{y+x}=y+\frac{1}{y+x}[/m]

[m]y`=\frac{y^2+xy+1}{y+x-xy-x^2-1}[/m]

Находим

[m]y`(1)=\frac{0^2+1\cdot 0+1}{0+1-1\cdot 0-1^2-1}=-1[/m]


Находим y` `



[m]y``=(\frac{y^2+xy+1}{y+x-xy-x^2-1})`[/m]


Применяем формулу производной дроби

[m]y``=\frac{(y^2+xy+1)`\cdot (y+x-xy-x^2-1)^2-(y^2+xy+1)\cdot ((y+x-xy-x^2-1)^2) `}{(y+x-xy-x^2-1)^2}[/m]


[m]y``=\frac{(2y^2\cdot y`+y+xy`+0)\cdot (y+x-xy-x^2-1)^2-(y^2+xy+1)\cdot 2\cdot(y+x-xy-x^2-1)\cdot (y+x-xy-x^2-1)` }{(y+x-xy-x^2-1)^2}[/m]


[m]y``=\frac{(2y^2\cdot y`+y+xy`+0)\cdot (y+x-xy-x^2-1)^2-(y^2+xy+1)\cdot 2\cdot(y+x-xy-x^2-1)\cdot (y`+1-y-xy`-2x-0)}{(y+x-xy-x^2-1)^2}[/m]


Находим

[m]y``(1)==\frac{(2\cdot 0^2\cdot (-1)+0+1\cdot (-1))\cdot (0+1-1\cdot 0-1^2-1)^2-(0^2+1\cdot 0y+1)\cdot 2\cdot(0+1-1\cdot 0-1^2-1)\cdot ((-1)+1-0-1\cdot (-3)-2\cdot 1)}{(0+1-1\cdot 0-1^2-1)^2}[/m]


[m]y```=(\frac{(2y^2\cdot y`+y+xy`+0)\cdot (y+x-xy-x^2-1)^2-(y^2+xy+1)\cdot 2\cdot(y+x-xy-x^2-1)\cdot (y`+1-y-xy`-2x-0)}{(y+x-xy-x^2-1)^2})`[/m]

Применяем формулу производной дроби


[m]y```(1`)=???[/m]



[m]y````=(y```)`[/m]


[m]y````(1`)=???[/m]


По формуле Тейлора

y=y(1)+(y`(1)/1!)*(x-1)+(y``(1)/2!)*(x-1)^2+(y```(1)/3!)*(x-1)^3++(y````(1)/4!)*(x-1)^4


Заменяем
y(1)=0 ;

y`(1)=-1 ;

y``(1);

y```(1);

y````(1)

и получаем ответ


Решайте...